Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnmw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnmw 34251
Description: Property of lattice translation value. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. TODO: Can this be used in more places? (Contributed by NM, 20-May-2012.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnmw.l = (le‘𝐾)
ltrnmw.m = (meet‘𝐾)
ltrnmw.z 0 = (0.‘𝐾)
ltrnmw.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnmw.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnmw.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnmw (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = 0 )

Proof of Theorem ltrnmw
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 ltrnmw.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 ltrnmw.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 ltrnmw.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrnmw.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5ltrnel 34239 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
7 ltrnmw.m . . 3 = (meet‘𝐾)
8 ltrnmw.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
92, 7, 8, 3, 4lhpmat 34130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = 0 )
101, 6, 9syl2anc 690 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  meetcmee 16714  0.cp0 16806  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LHypclh 34084  LTrncltrn 34201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-map 7723  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-lhyp 34088  df-laut 34089  df-ldil 34204  df-ltrn 34205
This theorem is referenced by:  cdlemg2m  34706
  Copyright terms: Public domain W3C validator