Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnnidn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnnidn 35779
Description: If a lattice translation is not the identity, then the translation of any atom not under the fiducial co-atom 𝑊 is different from the atom. Remark above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnnidn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnnidn.l = (le‘𝐾)
ltrnnidn.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnnidn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnnidn.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnnidn (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)

Proof of Theorem ltrnnidn
StepHypRef Expression
1 simp1l 1105 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 34965 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp1 1081 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp2l 1107 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
6 simp2r 1108 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
7 ltrnnidn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 ltrnnidn.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 ltrnnidn.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 ltrnnidn.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2651 . . . . 5 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 35778 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ∈ 𝐴)
14 eqid 2651 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1514, 8atn0 34913 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ∈ 𝐴) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
163, 13, 15syl2anc 694 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
17 simpl1 1084 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
18 simpl3 1086 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
19 simpl2l 1134 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
20 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
21 ltrnnidn.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2221, 14, 8, 9, 10, 11trl0 35775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (0.‘𝐾))
2317, 18, 19, 20, 22syl112anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (0.‘𝐾))
2423ex 449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = 𝑃 → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
2524necon3d 2844 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
2616, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685   I cid 5052  cres 5145  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  0.cp0 17084  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  ltrnideq  35780
  Copyright terms: Public domain W3C validator