Theorem ltrnval1 34438

Description: Value of a lattice translation under its co-atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnval1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnval1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnval1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnval1	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ltrnval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnval1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3		ltrnval1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	ltrnldil 34426	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5	4	3adant3 1074	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
6		ltrnval1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		ltrnval1.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7, 1, 2	ldilval 34417	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
9	5, 8	syld3an2 1365	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  LHypclh 34288  LDilcldil 34404  LTrncltrn 34405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-ldil 34408  df-ltrn 34409

This theorem is referenced by:  ltrnid  34439  ltrnatb  34441  ltrnel  34443  ltrncnvel  34446  ltrneq  34453  ltrnmwOLD  34456  cdlemc2  34497  cdlemd2  34504  cdlemg7N  34932