Theorem ltso 10720

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 10711	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 10716	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5507	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5472  ℝcr 10535   < clt 10674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679

This theorem is referenced by:  gtso  10721  lttri2  10722  lttri3  10723  lttri4  10724  ltnr  10734  ltnsym2  10738  fimaxre  11583  fimaxreOLD  11584  fiminre  11587  lbinf  11593  suprcl  11600  suprub  11601  suprlub  11604  infrecl  11622  infregelb  11624  infrelb  11625  supfirege  11626  suprfinzcl  12096  uzinfi  12327  suprzcl2  12337  suprzub  12338  2resupmax  12580  infmrp1  12736  fseqsupcl  13344  ssnn0fi  13352  fsuppmapnn0fiublem  13357  isercolllem1  15020  isercolllem2  15021  summolem2  15072  zsum  15074  fsumcvg3  15085  mertenslem2  15240  prodmolem2  15288  zprod  15290  cnso  15599  gcdval  15844  dfgcd2  15893  lcmval  15935  lcmgcdlem  15949  odzval  16127  pczpre  16183  prmreclem1  16251  ramz  16360  odval  18661  odf  18664  gexval  18702  gsumval3  19026  retos  20761  mbfsup  24264  mbfinf  24265  itg2monolem1  24350  itg2mono  24353  dvgt0lem2  24599  dvgt0  24600  plyeq0lem  24799  dgrval  24817  dgrcl  24822  dgrub  24823  dgrlb  24825  elqaalem1  24907  elqaalem3  24909  aalioulem2  24921  logccv  25245  ex-po  28213  ssnnssfz  30509  lmdvg  31196  oddpwdc  31612  ballotlemi  31758  ballotlemiex  31759  ballotlemsup  31762  ballotlemimin  31763  ballotlemfrcn0  31787  ballotlemirc  31789  erdszelem3  32440  erdszelem4  32441  erdszelem5  32442  erdszelem6  32443  erdszelem8  32445  erdszelem9  32446  erdszelem11  32448  erdsze2lem1  32450  erdsze2lem2  32451  supfz  32960  inffz  32961  gtinf  33667  ptrecube  34891  poimirlem31  34922  poimirlem32  34923  heicant  34926  mblfinlem3  34930  mblfinlem4  34931  ismblfin  34932  incsequz2  35023  totbndbnd  35066  prdsbnd  35070  pellfundval  39475  dgraaval  39742  dgraaf  39745  fzisoeu  41565  uzublem  41702  infrglb  41869  limsupubuzlem  41991  fourierdlem25  42416  fourierdlem31  42422  fourierdlem36  42427  fourierdlem37  42428  fourierdlem42  42433  fourierdlem79  42469  ioorrnopnlem  42588  hoicvr  42829  hoidmvlelem2  42877  iunhoiioolem  42956  vonioolem1  42961  prmdvdsfmtnof1lem1  43745  prmdvdsfmtnof  43747  prmdvdsfmtnof1  43748  ssnn0ssfz  44396  rrx2plordso  44710