MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltso 10156
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso < Or ℝ

Proof of Theorem ltso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 10147 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥)))
2 lttr 10152 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
31, 2isso2i 5096 1 < Or ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   Or wor 5063  cr 9973   < clt 10112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  gtso  10157  lttri2  10158  lttri3  10159  lttri4  10160  ltnr  10170  ltnsym2  10174  fimaxre  11006  lbinf  11014  suprcl  11021  suprub  11022  suprlub  11025  infrecl  11043  infregelb  11045  infrelb  11046  supfirege  11047  suprfinzcl  11530  uzinfi  11806  suprzcl2  11816  suprzub  11817  2resupmax  12057  infmrp1  12212  fseqsupcl  12816  ssnn0fi  12824  fsuppmapnn0fiublem  12829  isercolllem1  14439  isercolllem2  14440  summolem2  14491  zsum  14493  fsumcvg3  14504  mertenslem2  14661  prodmolem2  14709  zprod  14711  cnso  15020  gcdval  15265  dfgcd2  15310  lcmval  15352  lcmgcdlem  15366  odzval  15543  pczpre  15599  prmreclem1  15667  ramz  15776  odval  17999  odf  18002  gexval  18039  gsumval3  18354  retos  20012  mbfsup  23476  mbfinf  23477  itg2monolem1  23562  itg2mono  23565  dvgt0lem2  23811  dvgt0  23812  plyeq0lem  24011  dgrval  24029  dgrcl  24034  dgrub  24035  dgrlb  24037  elqaalem1  24119  elqaalem3  24121  aalioulem2  24133  logccv  24454  ex-po  27422  ssnnssfz  29677  lmdvg  30127  oddpwdc  30544  ballotlemi  30690  ballotlemiex  30691  ballotlemsup  30694  ballotlemimin  30695  ballotlemfrcn0  30719  ballotlemirc  30721  erdszelem3  31301  erdszelem4  31302  erdszelem5  31303  erdszelem6  31304  erdszelem8  31306  erdszelem9  31307  erdszelem11  31309  erdsze2lem1  31311  erdsze2lem2  31312  supfz  31739  inffz  31740  inffzOLD  31741  gtinf  32438  ptrecube  33539  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  heicant  33574  mblfinlem3  33578  mblfinlem4  33579  ismblfin  33580  incsequz2  33675  totbndbnd  33718  prdsbnd  33722  pellfundval  37761  dgraaval  38031  dgraaf  38034  fzisoeu  39828  uzublem  39970  infrglb  40140  limsupubuzlem  40262  fourierdlem25  40667  fourierdlem31  40673  fourierdlem36  40678  fourierdlem37  40679  fourierdlem42  40684  fourierdlem79  40720  ioorrnopnlem  40842  hoicvr  41083  hoidmvlelem2  41131  iunhoiioolem  41210  vonioolem1  41215  prmdvdsfmtnof1lem1  41821  prmdvdsfmtnof  41823  prmdvdsfmtnof1  41824  ssnn0ssfz  42452
  Copyright terms: Public domain W3C validator