MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri 10014
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
lt.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lttri ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 lttr 9965 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
51, 2, 3, 4mp3an 1415 1 ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9791   < clt 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935
This theorem is referenced by:  1lt3  11043  2lt4  11045  1lt4  11046  3lt5  11048  2lt5  11049  1lt5  11050  4lt6  11052  3lt6  11053  2lt6  11054  1lt6  11055  5lt7  11057  4lt7  11058  3lt7  11059  2lt7  11060  1lt7  11061  6lt8  11063  5lt8  11064  4lt8  11065  3lt8  11066  2lt8  11067  1lt8  11068  7lt9  11070  6lt9  11071  5lt9  11072  4lt9  11073  3lt9  11074  2lt9  11075  1lt9  11076  8lt10OLD  11078  7lt10OLD  11079  6lt10OLD  11080  5lt10OLD  11081  4lt10OLD  11082  3lt10OLD  11083  2lt10OLD  11084  1lt10OLD  11085  8lt10  11506  7lt10  11507  6lt10  11508  5lt10  11509  4lt10  11510  3lt10  11511  2lt10  11512  1lt10  11513  sincos2sgn  14709  epos  14720  ene1  14723  dvdslelem  14815  oppcbas  16147  sralem  18944  zlmlem  19629  psgnodpmr  19700  tnglem  22192  xrhmph  22485  vitalilem4  23103  pipos  23933  logneg  24055  asin1  24338  reasinsin  24340  atan1  24372  log2le1  24394  bposlem8  24733  bposlem9  24734  chebbnd1lem2  24876  chebbnd1lem3  24877  chebbnd1  24878  mulog2sumlem2  24941  pntibndlem1  24995  pntlemb  25003  pntlemk  25012  ttglem  25474  cchhllem  25485  axlowdimlem16  25555  sgnnbi  29740  sgnpbi  29741  signswch  29770  logi  30679  cnndvlem1  31504  bj-minftyccb  32085  bj-pinftynminfty  32087  asindmre  32461  fdc  32507  fourierdlem94  38890  fourierdlem102  38898  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900  fourierdlem112  38908  fourierdlem113  38909  fourierdlem114  38910  fouriersw  38921  etransclem23  38947
  Copyright terms: Public domain W3C validator