Theorem lttri 10760

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 10711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1457	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  1lt3  11804  2lt4  11806  1lt4  11807  3lt5  11809  2lt5  11810  1lt5  11811  4lt6  11813  3lt6  11814  2lt6  11815  1lt6  11816  5lt7  11818  4lt7  11819  3lt7  11820  2lt7  11821  1lt7  11822  6lt8  11824  5lt8  11825  4lt8  11826  3lt8  11827  2lt8  11828  1lt8  11829  7lt9  11831  6lt9  11832  5lt9  11833  4lt9  11834  3lt9  11835  2lt9  11836  1lt9  11837  8lt10  12224  7lt10  12225  6lt10  12226  5lt10  12227  4lt10  12228  3lt10  12229  2lt10  12230  1lt10  12231  sincos2sgn  15541  epos  15554  ene1  15557  dvdslelem  15653  oppcbas  16982  sralem  19943  zlmlem  20658  psgnodpmr  20728  tnglem  23243  xrhmph  23545  vitalilem4  24206  pipos  25040  logneg  25165  asin1  25466  reasinsin  25468  atan1  25500  log2le1  25522  bposlem8  25861  bposlem9  25862  chebbnd1lem2  26040  chebbnd1lem3  26041  chebbnd1  26042  mulog2sumlem2  26105  pntibndlem1  26159  pntlemb  26167  pntlemk  26176  ttglem  26656  cchhllem  26667  axlowdimlem16  26737  dp2ltc  30558  sgnnbi  31798  sgnpbi  31799  signswch  31826  hgt750lem  31917  hgt750lem2  31918  logi  32961  cnndvlem1  33871  bj-minftyccb  34501  bj-pinftynminfty  34503  asindmre  34971  fdc  35014  sn-0ne2  39229  fourierdlem94  42479  fourierdlem102  42487  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  fourierdlem112  42497  fourierdlem113  42498  fourierdlem114  42499  fouriersw  42510  etransclem23  42536