MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri4 10107
Description: Trichotomy law for 'less than'. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
lttri4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lttri4
StepHypRef Expression
1 ltso 10103 . 2 < Or ℝ
2 solin 5048 . 2 (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
31, 2mpan 705 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3o 1035   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644   Or wor 5024  cr 9920   < clt 10059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  lttri4d  10163  xlemul1a  12103  xadddi  12110  mbfmulc2lem  23395  c1lip1  23741  reeff1o  24182  tanabsge  24239  logcnlem3  24371  atantan  24631  atanbnd  24634  icceuelpart  41136  goldbachth  41224
  Copyright terms: Public domain W3C validator