Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubdm 17026
 Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubfval.l = (le‘𝐾)
lubfval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubdm (𝜑 → dom 𝑈 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubdm
StepHypRef Expression
1 lubfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lubfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lubfval.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 lubfval.p . . . 4 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
5 lubfval.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
61, 2, 3, 4, 5lubfval 17025 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
76dmeqd 5358 . 2 (𝜑 → dom 𝑈 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
8 riotaex 6655 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
9 eqid 2651 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))
108, 9dmmpti 6061 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
1110ineq2i 3844 . . 3 ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12 dmres 5454 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)))
13 dfrab2 3936 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
1411, 12, 133eqtr4i 2683 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}
157, 14syl6eq 2701 1 (𝜑 → dom 𝑈 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  ∀wral 2941  ∃!wreu 2943  {crab 2945   ∩ cin 3606  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  Basecbs 15904  lecple 15995  lubclub 16989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-lub 17021 This theorem is referenced by:  lubeldm  17028  xrsclat  29808
 Copyright terms: Public domain W3C validator