Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubfval 16959
 Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubfval.l = (le‘𝐾)
lubfval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubfval (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubfval.k . 2 (𝜑𝐾𝑉)
2 elex 3207 . 2 (𝐾𝑉𝐾 ∈ V)
3 fveq2 6178 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = (Base‘𝐾))
4 lubfval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
53, 4syl6eqr 2672 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = 𝐵)
65pweqd 4154 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → 𝒫 (Base‘𝑝) = 𝒫 𝐵)
7 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = (le‘𝐾))
8 lubfval.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
97, 8syl6eqr 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = )
109breqd 4655 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → (𝑦(le‘𝑝)𝑥𝑦 𝑥))
1110ralbidv 2983 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥))
129breqd 4655 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑦 𝑧))
1312ralbidv 2983 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧))
149breqd 4655 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥(le‘𝑝)𝑧𝑥 𝑧))
1513, 14imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
165, 15raleqbidv 3147 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1711, 16anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
185, 17riotaeqbidv 6599 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
196, 18mpteq12dv 4724 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))))
2017reubidv 3121 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
21 reueq1 3135 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑝) = 𝐵 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
2320, 22bitrd 268 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
2423abbidv 2739 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
2519, 24reseq12d 5386 . . . 4 (𝑝 = 𝐾 → ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
26 df-lub 16955 . . . 4 lub = (𝑝 ∈ V ↦ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))}))
27 fvex 6188 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) ∈ V
284, 27eqeltri 2695 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2928pwex 4839 . . . . . 6 𝒫 𝐵 ∈ V
3029mptex 6471 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ∈ V
3130resex 5431 . . . 4 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}) ∈ V
3225, 26, 31fvmpt 6269 . . 3 (𝐾 ∈ V → (lub‘𝐾) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
33 lubfval.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
34 lubfval.p . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
3635riotabiia 6613 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3736mpteq2i 4732 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
3834reubii 3123 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3938abbii 2737 . . . 4 {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}
4037, 39reseq12i 5383 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
4132, 33, 403eqtr4g 2679 . 2 (𝐾 ∈ V → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
421, 2, 413syl 18 1 (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {cab 2606  ∀wral 2909  ∃!wreu 2911  Vcvv 3195  𝒫 cpw 4149   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720   ↾ cres 5106  ‘cfv 5876  ℩crio 6595  Basecbs 15838  lecple 15929  lubclub 16923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-lub 16955 This theorem is referenced by:  lubdm  16960  lubfun  16961  lubval  16965  join0  17119  oduglb  17120  odulub  17122
 Copyright terms: Public domain W3C validator