MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lublecl 17587
Description: The set of all elements less than a given element has an LUB. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lublecl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublecl.l = (le‘𝐾)
lublecl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lublecl.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
lublecl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lublecl (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑈(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem lublecl
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4053 . . 3 {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵)
3 lublecl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 lublecl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublecl.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 lublecl.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
7 lublecl.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
84, 5, 6, 7, 3lublecllem 17586 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋))
98ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋))
10 reu6i 3716 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ 𝑥 = 𝑋)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
113, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
12 biid 262 . . 3 ((∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))
134, 5, 6, 12, 7lubeldm 17579 . 2 (𝜑 → ({𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈 ↔ ({𝑦𝐵𝑦 𝑋} ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑥 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑦𝐵𝑦 𝑋}𝑧 𝑤𝑥 𝑤)))))
142, 11, 13mpbir2and 709 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝑦 𝑋} ∈ dom 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  ∃!wreu 3137  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  Posetcpo 17538  lubclub 17540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-proset 17526  df-poset 17544  df-lub 17572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator