MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubsn 17015
Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 28121 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubsn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubsn ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn
StepHypRef Expression
1 lubsn.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
2 eqid 2621 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 simpl 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr 477 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
51, 2, 3, 4, 4joinval 16926 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
6 dfsn2 4161 . . . 4 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
76fveq2i 6151 . . 3 (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
85, 7syl6reqr 2674 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9 lubsn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
109, 2latjidm 16995 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
118, 10eqtrd 2655 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lubclub 16863  joincjn 16865  Latclat 16966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-lat 16967
This theorem is referenced by:  lubel  17043
  Copyright terms: Public domain W3C validator