MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubss 17168
Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 28329 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))

Proof of Theorem lubss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2 sstr2 3643 . . . . 5 (𝑆𝑇 → (𝑇𝐵𝑆𝐵))
32impcom 445 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
433adant1 1099 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
5 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
75, 6clatlubcl 17159 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
873adant3 1101 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
91, 4, 83jca 1261 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵))
10 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11 simpl2 1085 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
12 ssel2 3631 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
13123ad2antl3 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
14 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
155, 14, 6lubub 17166 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1610, 11, 13, 15syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1716ralrimiva 2995 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇))
185, 14, 6lubl 17167 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
199, 17, 18sylc 65 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  lubclub 16989  CLatccla 17154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-lub 17021  df-glb 17022  df-clat 17155
This theorem is referenced by:  lubel  17169  atlatmstc  34924  atlatle  34925  pmaple  35365  paddunN  35531  poml4N  35557
  Copyright terms: Public domain W3C validator