MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubss 17037
Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 28041 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))

Proof of Theorem lubss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2 sstr2 3595 . . . . 5 (𝑆𝑇 → (𝑇𝐵𝑆𝐵))
32impcom 446 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
433adant1 1077 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
5 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
75, 6clatlubcl 17028 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
873adant3 1079 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
91, 4, 83jca 1240 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵))
10 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
12 ssel2 3583 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
13123ad2antl3 1223 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
14 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
155, 14, 6lubub 17035 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1610, 11, 13, 15syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1716ralrimiva 2965 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇))
185, 14, 6lubl 17036 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
199, 17, 18sylc 65 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wss 3560   class class class wbr 4618  cfv 5850  Basecbs 15776  lecple 15864  lubclub 16858  CLatccla 17023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-lub 16890  df-glb 16891  df-clat 17024
This theorem is referenced by:  lubel  17038  atlatmstc  34053  atlatle  34054  pmaple  34494  paddunN  34660  poml4N  34686
  Copyright terms: Public domain W3C validator