MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubval 16908
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying 𝑆 ∈ dom 𝑈) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubval.l = (le‘𝐾)
lubval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubval.k (𝜑𝐾𝑉)
lubval.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
lubval (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lubval.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lubval.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 251 . . . . 5 ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
5 lubval.k . . . . . 6 (𝜑𝐾𝑉)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝐾𝑉)
71, 2, 3, 4, 6lubfval 16902 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
87fveq1d 6152 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})‘𝑆))
9 lubval.p . . . . . 6 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
10 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
111, 2, 3, 9, 6, 10lubeu 16907 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
12 raleq 3127 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥))
13 raleq 3127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧))
1413imbi1d 331 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1514ralbidv 2980 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1612, 15anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
1716, 9syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → ((∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ 𝜓))
1817reubidv 3115 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
1918elabg 3335 . . . . . 6 (𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))} ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2019adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))} ↔ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
2111, 20mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
22 fvres 6166 . . . 4 (𝑆 ∈ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))} → (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})‘𝑆) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆))
24 lubval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆𝐵)
26 fvex 6160 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
271, 26eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2827elpw2 4790 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
2925, 28sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3017riotabidv 6570 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))) = (𝑥𝐵 𝜓))
31 eqid 2621 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
32 riotaex 6572 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6241 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
3429, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))‘𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
358, 23, 343eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
36 ndmfv 6177 . . . 4 𝑆 ∈ dom 𝑈 → (𝑈𝑆) = ∅)
3736adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = ∅)
381, 2, 3, 9, 5lubeldm 16905 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
3938biimprd 238 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) → 𝑆 ∈ dom 𝑈))
4024, 39mpand 710 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑥𝐵 𝜓𝑆 ∈ dom 𝑈))
4140con3dimp 457 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → ¬ ∃!𝑥𝐵 𝜓)
42 riotaund 6604 . . . 4 (¬ ∃!𝑥𝐵 𝜓 → (𝑥𝐵 𝜓) = ∅)
4341, 42syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑥𝐵 𝜓) = ∅)
4437, 43eqtr4d 2658 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
4535, 44pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  ∃!wreu 2909  Vcvv 3186  wss 3556  c0 3893  𝒫 cpw 4132   class class class wbr 4615  cmpt 4675  dom cdm 5076  cres 5078  cfv 5849  crio 6567  Basecbs 15784  lecple 15872  lubclub 16866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-lub 16898
This theorem is referenced by:  lubcl  16909  lubprop  16910  lubid  16914  joinval2  16933  lubun  17047  poslubd  17072  toslub  29465  lub0N  33977  glbconN  34164
  Copyright terms: Public domain W3C validator