Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim 19076
 Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 19063 and lbsacsbs 19075 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 17104. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim.1 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lvecdim ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆𝑇)

Proof of Theorem lvecdim
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 eqid 2621 . . . . 5 (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
3 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
41, 2, 3lssacsex 19063 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
543ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
65simpld 475 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
7 eqid 2621 . 2 (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
85simprd 479 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
9 simp2 1060 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆𝐽)
10 lvecdim.1 . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
111, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 19075 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
12113ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
139, 12mpbid 222 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
1413simpld 475 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
15 simp3 1061 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑇𝐽)
161, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 19075 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑇𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
17163ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑇𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
1815, 17mpbid 222 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
1918simpld 475 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
2013simprd 479 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
2118simprd 479 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
2220, 21eqtr4d 2658 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
236, 2, 7, 8, 14, 19, 22acsexdimd 17104 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847   ≈ cen 7896  Basecbs 15781  mrClscmrc 16164  mrIndcmri 16165  ACScacs 16166  LSubSpclss 18851  LBasisclbs 18993  LVecclvec 19021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-r1 8571  df-rank 8572  df-card 8709  df-acn 8712  df-ac 8883  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ocomp 15884  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-mri 16169  df-acs 16170  df-preset 16849  df-drs 16850  df-poset 16867  df-ipo 17073  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lbs 18994  df-lvec 19022 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator