Theorem lvecdrng 19880

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 19879	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 499	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  Scalarcsca 16571  DivRingcdr 19505  LModclmod 19637  LVecclvec 19877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-iota 6317  df-fv 6366  df-lvec 19878

This theorem is referenced by:  lsslvec  19882  lvecvs0or  19883  lssvs0or  19885  lvecinv  19888  lspsnvs  19889  lspsneq  19897  lspfixed  19903  lspexch  19904  lspsolv  19918  islbs2  19929  islbs3  19930  obsne0  20872  islinds4  20982  nvctvc  23312  lssnvc  23314  cvsunit  23738  cvsdivcl  23740  cphsubrg  23787  cphreccl  23788  cphqss  23795  phclm  23838  ipcau2  23840  tcphcph  23843  hlprlem  23973  ishl2  23976  0nellinds  30939  lmhmlvec2  31021  lfl1  36210  lkrsc  36237  eqlkr3  36241  lkrlsp  36242  lkrshp  36245  lduallvec  36294  dochkr1  38618  dochkr1OLDN  38619  lcfl7lem  38639  lclkrlem2m  38659  lclkrlem2o  38661  lclkrlem2p  38662  lcfrlem1  38682  lcfrlem2  38683  lcfrlem3  38684  lcfrlem29  38711  lcfrlem31  38713  lcfrlem33  38715  mapdpglem17N  38828  mapdpglem18  38829  mapdpglem19  38830  mapdpglem21  38832  mapdpglem22  38833  hdmapip1  39056  hgmapvvlem1  39063  hgmapvvlem2  39064  hgmapvvlem3  39065  prjspersym  39263  lincreslvec3  44544  isldepslvec2  44547