MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecprop2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecprop2d 19106
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 19107 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecprop2d.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecprop2d.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecprop2d.f 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
lvecprop2d.g 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
lvecprop2d.p1 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐹))
lvecprop2d.p2 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐺))
lvecprop2d.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lvecprop2d.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
lvecprop2d.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) = (𝑥(.r𝐺)𝑦))
lvecprop2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lvecprop2d (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem lvecprop2d
StepHypRef Expression
1 lvecprop2d.b1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 lvecprop2d.b2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 lvecprop2d.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝐾)
4 lvecprop2d.g . . . 4 𝐺 = (Scalar‘𝐿)
5 lvecprop2d.p1 . . . 4 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐹))
6 lvecprop2d.p2 . . . 4 (𝜑𝑃 = (Base‘𝐺))
7 lvecprop2d.1 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
8 lvecprop2d.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
9 lvecprop2d.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) = (𝑥(.r𝐺)𝑦))
10 lvecprop2d.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodprop2d 18865 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
125, 6, 8, 9drngpropd 18714 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ DivRing ↔ 𝐺 ∈ DivRing))
1311, 12anbi12d 746 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing)))
143islvec 19044 . 2 (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
154islvec 19044 . 2 (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ DivRing))
1613, 14, 153bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  DivRingcdr 18687  LModclmod 18803  LVecclvec 19042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lvec 19043
This theorem is referenced by:  hlhillvec  36762
  Copyright terms: Public domain W3C validator