MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan 19025
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 27769 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan.s · = ( ·𝑠𝑊)
lvecmulcan.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan.o 0 = (0g𝐹)
lvecmulcan.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecmulcan.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecmulcan.y (𝜑𝑌𝑉)
lvecmulcan.n (𝜑𝐴0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvecvscan
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan.n . . 3 (𝜑𝐴0 )
2 df-ne 2797 . . . 4 (𝐴0 ↔ ¬ 𝐴 = 0 )
3 biorf 420 . . . 4 𝐴 = 0 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
42, 3sylbi 207 . . 3 (𝐴0 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
6 lvecmulcan.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19020 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 lvecmulcan.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
10 lvecmulcan.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
11 lvecmulcan.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 eqid 2626 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
13 eqid 2626 . . . 4 (-g𝑊) = (-g𝑊)
1411, 12, 13lmodsubeq0 18838 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
158, 9, 10, 14syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16 lvecmulcan.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 lvecmulcan.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
18 lvecmulcan.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
19 lvecmulcan.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
2011, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10lmodsubdi 18836 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)))
2120eqeq1d 2628 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g𝑊)𝑌)) = (0g𝑊) ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g𝑊)))
22 lvecmulcan.o . . . 4 0 = (0g𝐹)
2311, 13lmodvsubcl 18824 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
248, 9, 10, 23syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
2511, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24lvecvs0or 19022 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g𝑊)𝑌)) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊))))
2611, 17, 16, 18lmodvscl 18796 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
278, 19, 9, 26syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
2811, 17, 16, 18lmodvscl 18796 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
298, 19, 10, 28syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3011, 12, 13lmodsubeq0 18838 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
318, 27, 29, 30syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
3221, 25, 313bitr3d 298 . 2 (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g𝑊)𝑌) = (0g𝑊)) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
335, 15, 323bitr3rd 299 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  Scalarcsca 15860   ·𝑠 cvsca 15861  0gc0g 16016  -gcsg 17340  LModclmod 18779  LVecclvec 19016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-drng 18665  df-lmod 18781  df-lvec 19017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator