Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan2 19334
 Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 28260 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s · = ( ·𝑠𝑊)
lvecmulcan2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o 0 = (0g𝑊)
lvecmulcan2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecmulcan2.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecmulcan2.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecmulcan2.n (𝜑𝑋0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
21neneqd 2937 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3 biorf 419 . . . . 5 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹))))
4 orcom 401 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹)) ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
53, 4syl6bb 276 . . . 4 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7 lvecmulcan2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lvecmulcan2.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lvecmulcan2.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10 lvecmulcan2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
11 eqid 2760 . . . 4 (0g𝐹) = (0g𝐹)
12 lvecmulcan2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
13 lvecmulcan2.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
14 lveclmod 19328 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
169lmodfgrp 19094 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
18 lvecmulcan2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
19 lvecmulcan2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
20 eqid 2760 . . . . . 6 (-g𝐹) = (-g𝐹)
2110, 20grpsubcl 17716 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐾𝐵𝐾) → (𝐴(-g𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(-g𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23 lvecmulcan2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 19330 . . 3 (𝜑 → (((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25 eqid 2760 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 19143 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
2726eqeq1d 2762 . . 3 (𝜑 → (((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
286, 24, 273bitr2rd 297 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹)))
297, 9, 8, 10lmodvscl 19102 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3015, 18, 23, 29syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
317, 9, 8, 10lmodvscl 19102 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3215, 19, 23, 31syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
337, 12, 25lmodsubeq0 19144 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
3415, 30, 32, 33syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
3510, 11, 20grpsubeq0 17722 . . 3 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐾𝐵𝐾) → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3617, 18, 19, 35syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3728, 34, 363bitr3d 298 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  LModclmod 19085  LVecclvec 19324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lvec 19325 This theorem is referenced by:  lspsneu  19345  lvecindp  19360  lvecindp2  19361  lshpsmreu  34917  lshpkrlem5  34922  hgmapval1  37705  hgmapadd  37706  hgmapmul  37707  hgmaprnlem1N  37708  hgmap11  37714
 Copyright terms: Public domain W3C validator