Theorem lvecvscan2 19031

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 27779 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmulcan2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
2	1	neneqd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3		biorf 420	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹))))
4		orcom 402	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
5	3, 4	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7		lvecmulcan2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lvecmulcan2.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lvecmulcan2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lvecmulcan2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2621	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
12		lvecmulcan2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lvecmulcan2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
14		lveclmod 19025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	9	lmodfgrp 18793	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
18		lvecmulcan2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19		lvecmulcan2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
20		eqid 2621	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
21	10, 20	grpsubcl 17416	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23		lvecmulcan2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23	lvecvs0or 19027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
26	7, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23	lmodsubdir 18842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
27	26	eqeq1d 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
28	6, 24, 27	3bitr2rd 297	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)))
29	7, 9, 8, 10	lmodvscl 18801	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
30	15, 18, 23, 29	syl3anc 1323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
31	7, 9, 8, 10	lmodvscl 18801	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	15, 19, 23, 31	syl3anc 1323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	7, 12, 25	lmodsubeq0 18843	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
34	15, 30, 32, 33	syl3anc 1323	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
35	10, 11, 20	grpsubeq0 17422	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
36	17, 18, 19, 35	syl3anc 1323	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	28, 34, 36	3bitr3d 298	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·_𝑠 cvsca 15866  0_gc0g 16021  Grpcgrp 17343  -_gcsg 17345  LModclmod 18784  LVecclvec 19021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lvec 19022

This theorem is referenced by:  lspsneu  19042  lvecindp  19057  lvecindp2  19058  lshpsmreu  33876  lshpkrlem5  33881  hgmapval1  36665  hgmapadd  36666  hgmapmul  36667  hgmaprnlem1N  36668  hgmap11  36674