Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolbase 35385
Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolbase.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolbase (𝑋𝑉𝑋𝐵)

Proof of Theorem lvolbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4063 . . . 4 (𝑋𝑉 → ¬ 𝑉 = ∅)
2 lvolbase.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
32eqeq1i 2765 . . . 4 (𝑉 = ∅ ↔ (LVols‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 317 . . 3 (𝑋𝑉 → ¬ (LVols‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6347 . . 3 𝐾 ∈ V → (LVols‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 142 . 2 (𝑋𝑉𝐾 ∈ V)
7 lvolbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2760 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2760 . . . 4 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
107, 8, 9, 2islvol 35380 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑉 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 654 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 706 1 (𝑋𝑉𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  ccvr 35070  LPlanesclpl 35299  LVolsclvol 35300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-lvols 35307
This theorem is referenced by:  islvol2  35387  lvolnle3at  35389  lvolneatN  35395  lvolnelln  35396  lvolnelpln  35397  lplncvrlvol2  35422  lvolcmp  35424  2lplnja  35426
  Copyright terms: Public domain W3C validator