Theorem lvoli2 36719

Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoli2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lvoli2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lvoli2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvoli2.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli2

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp12 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
2		simp13 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
3		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4		eqidd 2824	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5		neeq1 3080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑞))
7	6	breq2d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
8	7	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞)))
9	6	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
10	9	breq2d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
11	10	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
12	5, 8, 11	3anbi123d 1432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
13	9	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
14	13	eqeq2d 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
15	12, 14	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
16		neeq2 3081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
17		oveq2 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑞) = (𝑃 ∨ 𝑄))
18	17	breq2d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
19	18	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
20	17	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21	20	breq2d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
22	21	notbid 320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
23	16, 19, 22	3anbi123d 1432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
24	20	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
25	24	eqeq2d 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
27	15, 26	rspc2ev 3637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
28	1, 2, 3, 4, 27	syl112anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
29	28	3exp 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))))
30		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
31		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
32		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
33		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	notbid 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)))
35		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))
36	35	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
37	36	notbid 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
38	34, 37	3anbi23d 1435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
39	35	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
40	39	eqeq2d 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
41	38, 40	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
42		breq1 5071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
43	42	notbid 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)))
44	43	3anbi3d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅))))
45		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
46	45	eqeq2d 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
47	44, 46	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
48	41, 47	rspc2ev 3637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
49	30, 31, 32, 48	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
50	49	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
51	50	reximdv 3275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
52	51	reximdv 3275	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
53	52	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
54	29, 53	syldd 72	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
55	54	3imp 1107	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
56		simp11 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
57	56	hllatd 36502	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
58		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
59		lvoli2.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
60		lvoli2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61	58, 59, 60	hlatjcl 36505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
62	61	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
63		simp2l 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
64	58, 60	atbase 36427	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
66	58, 59	latjcl 17663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
67	57, 62, 65, 66	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
68		simp2r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
69	58, 60	atbase 36427	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
71	58, 59	latjcl 17663	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
72	57, 67, 70, 71	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73		lvoli2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
74		lvoli2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
75	58, 73, 59, 60, 74	islvol5 36717	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
76	56, 72, 75	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
77	55, 76	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  Latclat 17657  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  LVolsclvol 36631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638

This theorem is referenced by:  islvol2aN  36730  4atlem3  36734  2lplnja  36757