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Theorem lzenom 36813
Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzenom (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11330 . . . 4 ℤ ∈ V
2 difexg 4768 . . . 4 (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
31, 2mp1i 13 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4 nnex 10970 . . . 4 ℕ ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6 ovex 6632 . . . 4 ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
762a1i 12 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8 ovex 6632 . . . 4 ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
982a1i 12 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110peano2zd 11429 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
1311, 12zsubcld 11431 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14 zre 11325 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
1514ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
1611zred 11426 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17 1red 9999 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎𝑁)
19 zcn 11326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
22 pncan 10231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2320, 21, 22sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2418, 23breqtrrd 4641 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
2515, 16, 17, 24lesubd 10575 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
2611zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27 zcn 11326 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
2827ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2926, 28nncand 10341 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
3029eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
3113, 25, 30jca31 556 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
3231adantrr 752 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
3533, 34anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36 oveq2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
3736eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
3835, 37anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
3938ad2antll 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
4032, 39mpbird 247 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4241peano2zd 11429 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4442, 43zsubcld 11431 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
4542zred 11426 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46 zre 11325 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 zre 11325 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
4948ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
5047recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 pncan2 10232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5250, 21, 51sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
5452, 53eqbrtrd 4635 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
5545, 47, 49, 54subled 10574 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
5642zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57 zcn 11326 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
5857ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
5956, 58nncand 10341 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
6059eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
6144, 55, 60jca31 556 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
6261adantrr 752 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64 breq1 4616 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
6563, 64anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66 oveq2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
6766eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
6865, 67anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
6968ad2antll 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
7062, 69mpbird 247 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
7140, 70impbida 876 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72 ellz1 36810 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)))
7372anbi1d 740 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74 elnnz1 11347 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
7574a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
7675anbi1d 740 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
7771, 73, 763bitr4d 300 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
783, 5, 7, 9, 77en2d 7935 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79 nnenom 12719 . 2 ℕ ≈ ω
80 entr 7952 . 2 (((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
8178, 79, 80sylancl 693 1 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  ωcom 7012  cen 7896  cc 9878  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  cz 11321  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  diophin  36816  diophren  36857
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