Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1exp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1exp1 15140
 Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11447 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2 divides 15029 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 706 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
54eqcoms 2659 . . . . . . 7 ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6 zcn 11420 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 11131 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
86, 7mulcomd 10099 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
98oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10 m1expeven 12947 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
119, 10eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2707 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
1312rexlimiva 3057 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
143, 13syl6bi 243 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
1514impcom 445 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16 simpl 472 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
1715, 162thd 255 . 2 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18 ax-1ne0 10043 . . . . 5 1 ≠ 0
19 eqcom 2658 . . . . . 6 (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
20 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2120eqnegi 10792 . . . . . 6 (1 = -1 ↔ 1 = 0)
2219, 21bitri 264 . . . . 5 (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
2318, 22nemtbir 2918 . . . 4 ¬ -1 = 1
24 odd2np1 15112 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
25 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
2625eqcoms 2659 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
29 neg1ne0 11164 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
3331, 32zmulcld 11526 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
3428, 30, 33expp1zd 13057 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
3510oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
3627mulid2i 10081 . . . . . . . . . . 11 (1 · -1) = -1
3735, 36syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
3834, 37eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
3926, 38sylan9eqr 2707 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
4039rexlimiva 3057 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
4124, 40syl6bi 243 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
4241impcom 445 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
4342eqeq1d 2653 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
4423, 43mtbiri 316 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
45 simpl 472 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
4644, 452falsed 365 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
4717, 46pm2.61ian 848 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -cneg 10305  2c2 11108  ℤcz 11415  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dvds 15028 This theorem is referenced by:  2lgs  25177  2lgsoddprm  25186
 Copyright terms: Public domain W3C validator