MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expcl2 12819
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 10224 . . 3 -1 ∈ V
21prid1 4272 . 2 -1 ∈ {-1, 1}
3 neg1ne0 11071 . 2 -1 ≠ 0
4 neg1cn 11069 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 ax-1cn 9939 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 prssi 4326 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
74, 5, 6mp2an 707 . . 3 {-1, 1} ⊆ ℂ
8 elpri 4173 . . . . 5 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
97sseli 3584 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
109mulm1d 10427 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11 elpri 4173 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12 negeq 10218 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13 negneg1e1 11073 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 9980 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
1514prid2 4273 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2700 . . . . . . . . . . 11 --1 ∈ {-1, 1}
1712, 16syl6eqel 2712 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18 negeq 10218 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
1918, 2syl6eqel 2712 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2017, 19jaoi 394 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2704 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23 oveq1 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
2423eleq1d 2688 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
2522, 24syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
269mulid2d 10003 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2704 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29 oveq1 6612 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
3029eleq1d 2688 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3128, 30syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 394 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
338, 32syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3433imp 445 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36 ax-1ne0 9950 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
37 divneg2 10694 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1421 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 10662 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 10219 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2650 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 2eqeltri 2700 . . . . . . 7 (1 / -1) ∈ {-1, 1}
4335, 42syl6eqel 2712 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2700 . . . . . . 7 (1 / 1) ∈ {-1, 1}
4644, 45syl6eqel 2712 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4743, 46jaoi 394 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
488, 47syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4948adantr 481 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lem 12809 . 2 ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
512, 3, 50mp3an12 1411 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wss 3560  {cpr 4155  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  -cneg 10212   / cdiv 10629  cz 11322  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  m1expcl  12820  m1expeven  12844  m1expaddsub  17834  psgnran  17851  psgnghm  19840  gausslemma2dlem0i  24984  lgseisenlem2  24996  madjusmdetlem4  29670  lighneallem4  40814
  Copyright terms: Public domain W3C validator