Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1expevenALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expevenALTV 41325
Description: Exponentiation of -1 by an even power. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.) (Revised by AV, 6-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1expevenALTV (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem m1expevenALTV
Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2624 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
21rexbidv 3048 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
3 dfeven4 41316 . . 3 Even = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑛 = (2 · 𝑖)}
42, 3elrab2 3360 . 2 (𝑁 ∈ Even ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)))
5 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = (-1↑(2 · 𝑖)))
6 neg1cn 11109 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
8 neg1ne0 11111 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
10 2z 11394 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
13 expmulz 12889 . . . . . . . . 9 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
147, 9, 11, 12, 13syl22anc 1325 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = ((-1↑2)↑𝑖))
15 neg1sqe1 12942 . . . . . . . . . 10 (-1↑2) = 1
1615oveq1i 6645 . . . . . . . . 9 ((-1↑2)↑𝑖) = (1↑𝑖)
17 1exp 12872 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
1816, 17syl5eq 2666 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → ((-1↑2)↑𝑖) = 1)
1914, 18eqtrd 2654 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (-1↑(2 · 𝑖)) = 1)
215, 20sylan9eqr 2676 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
2221ex 450 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
2322rexlimdva 3027 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖) → (-1↑𝑁) = 1))
2423imp 445 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑁 = (2 · 𝑖)) → (-1↑𝑁) = 1)
254, 24sylbi 207 1 (𝑁 ∈ Even → (-1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  -cneg 10252  2c2 11055  cz 11362  cexp 12843   Even ceven 41302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-seq 12785  df-exp 12844  df-even 41304
This theorem is referenced by:  m1expoddALTV  41326
  Copyright terms: Public domain W3C validator