Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1lgs 25158
 Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime 𝑃 iff 𝑃≡1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 11451 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
2 oddprm 15562 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
32nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4 zexpcl 12915 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
51, 3, 4sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
65peano2zd 11523 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
7 eldifi 3765 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 15435 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
106, 9zmodcld 12731 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11391 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
12 1cnd 10094 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12, 12subaddd 10448 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
14 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℝ)
169nnrpd 11908 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
17 0le2 11149 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 ≤ 2)
19 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
209nnred 11073 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
21 prmuz2 15455 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
23 eluzle 11738 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≤ 𝑃)
2515, 20, 24leltned 10228 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 < 𝑃𝑃 ≠ 2))
2619, 25mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)
27 modid 12735 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
2815, 16, 18, 26, 27syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 mod 𝑃) = 2)
29 df-2 11117 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3028, 29syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 mod 𝑃) = (1 + 1))
3130eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ (1 + 1) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
3219neneqd 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 = 2)
33 2prm 15452 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
34 dvdsprm 15462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
3522, 33, 34sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 2 ↔ 𝑃 = 2))
3632, 35mtbird 314 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
38 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → 1 ∈ ℂ)
392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
40 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2))
41 oexpneg 15116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -(1↑((𝑃 − 1) / 2)))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -(1↑((𝑃 − 1) / 2)))
4339nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
44 1exp 12929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → (1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
4645negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → -(1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -1)
4742, 46eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = -1)
4847oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = (-1 + 1))
49 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
50 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
51 1pneg1e0 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + -1) = 0
5249, 50, 51addcomli 10266 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 + 1) = 0
5348, 52syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = 0)
5453oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) = (2 − 0))
55 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
5655subid1i 10391 . . . . . . . . . . 11 (2 − 0) = 2
5754, 56syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) = 2)
5857breq2d 4697 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 2))
5937, 58mtbird 314 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)) → ¬ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)))
6059ex 449 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
6160con4d 114 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1)) → 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
62 2z 11447 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℤ)
64 moddvds 15038 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
659, 63, 6, 64syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (2 − ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))))
66 4z 11449 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 4 ∈ ℤ)
68 4ne0 11155 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 4 ≠ 0)
70 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
73 dvdsval2 15030 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℤ ∧ 4 ≠ 0 ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
7467, 69, 72, 73syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
7571nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7655a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∈ ℂ)
77 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 0)
7975, 76, 76, 78, 78divdiv1d 10870 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) = ((𝑃 − 1) / (2 · 2)))
80 2t2e4 11215 . . . . . . . . . . 11 (2 · 2) = 4
8180oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) / (2 · 2)) = ((𝑃 − 1) / 4)
8279, 81syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) = ((𝑃 − 1) / 4))
8382eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑃 − 1) / 4) ∈ ℤ))
8474, 83bitr4d 271 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
852nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
86 dvdsval2 15030 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
8763, 78, 85, 86syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ))
8884, 87bitr4d 271 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) ↔ 2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2)))
8961, 65, 883imtr4d 283 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) → 4 ∥ (𝑃 − 1)))
9050a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → -1 ∈ ℂ)
91 neg1ne0 11164 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → -1 ≠ 0)
9362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → 2 ∈ ℤ)
9484biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ)
95 expmulz 12946 . . . . . . . . . . 11 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)))
9690, 92, 93, 94, 95syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)))
972nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℂ)
9897, 76, 78divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = ((𝑃 − 1) / 2))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = ((𝑃 − 1) / 2))
10099oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑(2 · (((𝑃 − 1) / 2) / 2))) = (-1↑((𝑃 − 1) / 2)))
101 neg1sqe1 12999 . . . . . . . . . . . 12 (-1↑2) = 1
102101oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2))
103 1exp 12929 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 − 1) / 2) / 2) ∈ ℤ → (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
10494, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (1↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
105102, 104syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → ((-1↑2)↑(((𝑃 − 1) / 2) / 2)) = 1)
10696, 100, 1053eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (-1↑((𝑃 − 1) / 2)) = 1)
107106oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) = (1 + 1))
108107, 29syl6reqr 2704 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → 2 = ((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1))
109108oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 4 ∥ (𝑃 − 1)) → (2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
110109ex 449 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (4 ∥ (𝑃 − 1) → (2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
11189, 110impbid 202 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 mod 𝑃) = (((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
11213, 31, 1113bitr2d 296 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1 ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
113 lgsval3 25085 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 /L 𝑃) = ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
1141, 113mpan 706 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1 /L 𝑃) = ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
115114eqeq1d 2653 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ ((((-1↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = 1))
116 4nn 11225 . . . . 5 4 ∈ ℕ
117116a1i 11 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 4 ∈ ℕ)
118 prmz 15436 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1197, 118syl 17 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
120 1zzd 11446 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℤ)
121 moddvds 15038 . . . 4 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
122117, 119, 120, 121syl3anc 1366 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ 4 ∥ (𝑃 − 1)))
123112, 115, 1223bitr4d 300 . 2 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = (1 mod 4)))
124 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
125 nnrp 11880 . . . . 5 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
126116, 125ax-mp 5 . . . 4 4 ∈ ℝ+
127 0le1 10589 . . . 4 0 ≤ 1
128 1lt4 11237 . . . 4 1 < 4
129 modid 12735 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) → (1 mod 4) = 1)
130124, 126, 127, 128, 129mp4an 709 . . 3 (1 mod 4) = 1
131130eqeq2i 2663 . 2 ((𝑃 mod 4) = (1 mod 4) ↔ (𝑃 mod 4) = 1)
132123, 131syl6bb 276 1 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  4c4 11110  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870   mod cmo 12708  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432   /L clgs 25064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-lgs 25065 This theorem is referenced by:  2sqlem11  25199  2sqblem  25201
 Copyright terms: Public domain W3C validator