MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1modnnsub1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1modnnsub1 13273
Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1modnnsub1 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem m1modnnsub1
StepHypRef Expression
1 1re 10629 . . 3 1 ∈ ℝ
2 nnrp 12388 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
3 negmod 13272 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
41, 2, 3sylancr 587 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
5 nnre 11633 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6 peano2rem 10941 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
8 nnm1ge0 12038 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀 − 1))
95ltm1d 11560 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
10 modid 13252 . . 3 ((((𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
117, 2, 8, 9, 10syl22anc 834 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
124, 11eqtrd 2853 1 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  +crp 12377   mod cmo 13225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226
This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  13274  fmtnoprmfac1lem  43603
  Copyright terms: Public domain W3C validator