Theorem m2cpmrngiso 20611

Description: The transformation of matrices into constant polynomial matrices is a ring isomorphism. (Contributed by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpmfo.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpmfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpmfo.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
m2cpmrngiso.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpmrngiso.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpmrngiso.u	⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmrngiso	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingIso 𝑈))

Proof of Theorem m2cpmrngiso

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpmfo.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		m2cpmfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
3		m2cpmfo.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		m2cpmfo.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
5		m2cpmrngiso.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		m2cpmrngiso.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
7		m2cpmrngiso.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	m2cpmrhm 20599	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))
9		crngring 18604	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	anim2i 592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
11	1, 2, 3, 4	m2cpmf1o 20610	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–1-1-onto→𝑆)
12		eqid 2651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13	1, 5, 6, 12	cpmatpmat 20563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝑆) → 𝑚 ∈ (Base‘𝐶))
14	13	3expia 1286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑚 ∈ 𝑆 → 𝑚 ∈ (Base‘𝐶)))
15	14	ssrdv 3642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
16	7, 12	ressbas2 15978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) → 𝑆 = (Base‘𝑈))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = (Base‘𝑈))
18	17	eqcomd 2657	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑈) = 𝑆)
19		f1oeq3 6167	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑈) = 𝑆 → (𝑇:𝐾–1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝑇:𝐾–1-1-onto→𝑆))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:𝐾–1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝑇:𝐾–1-1-onto→𝑆))
21	11, 20	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐾–1-1-onto→(Base‘𝑈))
22	10, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇:𝐾–1-1-onto→(Base‘𝑈))
23	3	matring 20297	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
24	10, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
25	1, 5, 6	cpmatsubgpmat 20573	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
26	7	subggrp 17644	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) → 𝑈 ∈ Grp)
27	10, 25, 26	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ Grp)
28		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29	4, 28	isrim 18781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Grp) → (𝑇 ∈ (𝐴 RingIso 𝑈) ↔ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈) ∧ 𝑇:𝐾–1-1-onto→(Base‘𝑈))))
30	24, 27, 29	syl2anc 694	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇 ∈ (𝐴 RingIso 𝑈) ↔ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈) ∧ 𝑇:𝐾–1-1-onto→(Base‘𝑈))))
31	8, 22, 30	mpbir2and 977	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760   RingIso crs 18761  Poly₁cpl1 19595   Mat cmat 20261   ConstPolyMat ccpmat 20556   matToPolyMat cmat2pmat 20557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-rngiso 18764  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-assa 19360  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238  df-mat 20262  df-cpmat 20559  df-mat2pmat 20560  df-cpmat2mat 20561

This theorem is referenced by:  matcpmric  20612