MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem3 21166
Description: Lemma 3 for m2detleib 21168. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
m2detleiblem3.m · = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   · (𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19174 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4 m2detleiblem3.m . . 3 · = (+g𝐺)
51fvexi 6677 . . . 4 𝐺 ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ V)
7 1ex 10625 . . . . . . 7 1 ∈ V
8 2nn 11698 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
9 prex 5323 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
109prid1 4690 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
11 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
12 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
13 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
1411, 12, 13symg2bas 18455 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
1510, 14eleqtrrid 2917 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
167, 8, 15mp2an 688 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
17 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
1816, 17mpbiri 259 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄𝑃)
19 m2detleiblem2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2013oveq1i 7155 . . . . . . 7 (𝑁 Mat 𝑅) = ({1, 2} Mat 𝑅)
2119, 20eqtri 2841 . . . . . 6 𝐴 = ({1, 2} Mat 𝑅)
22 m2detleiblem2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2313fveq2i 6666 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘{1, 2})
2423fveq2i 6666 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2512, 24eqtri 2841 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2621, 22, 25matepmcl 20999 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2718, 26syl3an2 1156 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2813mpteq1i 5147 . . . . 5 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
2928fmpt 6866 . . . 4 (∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
3027, 29sylib 219 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
313, 4, 6, 30gsumpr12val 17887 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)))
327prid1 4690 . . . . . 6 1 ∈ {1, 2}
3332, 13eleqtrri 2909 . . . . 5 1 ∈ 𝑁
3419, 22, 12matepmcl 20999 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
3518, 34syl3an2 1156 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
36 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘1))
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
3836, 37oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘1)𝑀1))
3938eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)))
4039rspcva 3618 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
4133, 35, 40sylancr 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
42 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
4338, 42fvmptg 6759 . . . . 5 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4433, 41, 43sylancr 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
45 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
46 1ne2 11833 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
477, 7fvpr1 6944 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1
4945, 48syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = 1)
50493ad2ant2 1126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘1) = 1)
5150oveq1d 7160 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) = (1𝑀1))
5244, 51eqtrd 2853 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = (1𝑀1))
53 2ex 11702 . . . . . . 7 2 ∈ V
5453prid2 4691 . . . . . 6 2 ∈ {1, 2}
5554, 13eleqtrri 2909 . . . . 5 2 ∈ 𝑁
56 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘2))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → 𝑛 = 2)
5856, 57oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘2)𝑀2))
5958eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)))
6059rspcva 3618 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6155, 35, 60sylancr 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6258, 42fvmptg 6759 . . . . 5 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6355, 61, 62sylancr 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
64 fveq1 6662 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
6553, 53fvpr2 6945 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
6646, 65ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
6764, 66syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = 2)
68673ad2ant2 1126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘2) = 2)
6968oveq1d 7160 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) = (2𝑀2))
7063, 69eqtrd 2853 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = (2𝑀2))
7152, 70oveq12d 7163 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
7231, 71eqtrd 2853 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  Vcvv 3492  {cpr 4559  cop 4563  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526  cn 11626  2c2 11680  Basecbs 16471  +gcplusg 16553   Σg cgsu 16702  SymGrpcsymg 18433  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226   Mat cmat 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-symg 18434  df-mgp 19169  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mat 20945
This theorem is referenced by:  m2detleib  21168
  Copyright terms: Public domain W3C validator