MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem3 20349
Description: Lemma 3 for m2detleib 20351. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
m2detleiblem3.m · = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   · (𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18411 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4 m2detleiblem3.m . . 3 · = (+g𝐺)
5 fvex 6160 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) ∈ V
61, 5eqeltri 2700 . . . 4 𝐺 ∈ V
76a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ V)
8 1ex 9980 . . . . . . 7 1 ∈ V
9 2nn 11130 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
10 prex 4875 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
1110prid1 4272 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
12 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
1512, 13, 14symg2bas 17734 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
1611, 15syl5eleqr 2711 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃)
178, 9, 16mp2an 707 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃
18 eleq1 2692 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ 𝑃))
1917, 18mpbiri 248 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑄𝑃)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2114oveq1i 6615 . . . . . . 7 (𝑁 Mat 𝑅) = ({1, 2} Mat 𝑅)
2220, 21eqtri 2648 . . . . . 6 𝐴 = ({1, 2} Mat 𝑅)
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2414fveq2i 6153 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘{1, 2})
2524fveq2i 6153 . . . . . . 7 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2613, 25eqtri 2648 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘{1, 2}))
2722, 23, 26matepmcl 20182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
2819, 27syl3an2 1357 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
29 mpteq1 4702 . . . . . 6 (𝑁 = {1, 2} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)))
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛 ∈ {1, 2} ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
3130fmpt 6338 . . . 4 (∀𝑛 ∈ {1, 2} ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
3228, 31sylib 208 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)):{1, 2}⟶(Base‘𝑅))
333, 4, 7, 32gsumpr12val 17198 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)))
348prid1 4272 . . . . . 6 1 ∈ {1, 2}
3534, 14eleqtrri 2703 . . . . 5 1 ∈ 𝑁
3620, 23, 13matepmcl 20182 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
3719, 36syl3an2 1357 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
38 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘1))
39 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → 𝑛 = 1)
4038, 39oveq12d 6623 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4140eleq1d 2688 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)))
4241rspcva 3298 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
4335, 37, 42sylancr 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
44 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))
4540, 44fvmptg 6238 . . . . 5 ((1 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘1)𝑀1) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
4635, 43, 45sylancr 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = ((𝑄‘1)𝑀1))
47 fveq1 6149 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
48 1ne2 11185 . . . . . . . 8 1 ≠ 2
498, 8fvpr1 6411 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 1
5147, 50syl6eq 2676 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘1) = 1)
52513ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘1) = 1)
5352oveq1d 6620 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘1)𝑀1) = (1𝑀1))
5446, 53eqtrd 2660 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) = (1𝑀1))
55 2ex 11037 . . . . . . 7 2 ∈ V
5655prid2 4273 . . . . . 6 2 ∈ {1, 2}
5756, 14eleqtrri 2703 . . . . 5 2 ∈ 𝑁
58 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → (𝑄𝑛) = (𝑄‘2))
59 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 2 → 𝑛 = 2)
6058, 59oveq12d 6623 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6160eleq1d 2688 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)))
6261rspcva 3298 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6357, 37, 62sylancr 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
6460, 44fvmptg 6238 . . . . 5 ((2 ∈ 𝑁 ∧ ((𝑄‘2)𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
6557, 63, 64sylancr 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = ((𝑄‘2)𝑀2))
66 fveq1 6149 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
6755, 55fvpr2 6412 . . . . . . . 8 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
6966, 68syl6eq 2676 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑄‘2) = 2)
70693ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝑄‘2) = 2)
7170oveq1d 6620 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑄‘2)𝑀2) = (2𝑀2))
7265, 71eqtrd 2660 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2) = (2𝑀2))
7354, 72oveq12d 6623 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘1) · ((𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))‘2)) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
7433, 73eqtrd 2660 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  Vcvv 3191  {cpr 4155  cop 4159  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882  cn 10965  2c2 11015  Basecbs 15776  +gcplusg 15857   Σg cgsu 16017  SymGrpcsymg 17713  mulGrpcmgp 18405  Ringcrg 18463   Mat cmat 20127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-prds 16024  df-pws 16026  df-symg 17714  df-mgp 18406  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-mat 20128
This theorem is referenced by:  m2detleib  20351
  Copyright terms: Public domain W3C validator