MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem7 20373
Description: Lemma 7 for m2detleib 20377. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o 1 = (1r𝑅)
m2detleiblem1.i 𝐼 = (invg𝑅)
m2detleiblem1.t · = (.r𝑅)
m2detleiblem1.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g𝑅)((𝐼1 ) · 𝑍)) = (𝑋 𝑍))

Proof of Theorem m2detleiblem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 m2detleiblem1.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3 m2detleiblem1.o . . . . 5 1 = (1r𝑅)
4 m2detleiblem1.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝑅)
5 simpl 473 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 simpr 477 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
71, 2, 3, 4, 5, 6ringnegl 18534 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼1 ) · 𝑍) = (𝐼𝑍))
873adant2 1078 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼1 ) · 𝑍) = (𝐼𝑍))
98oveq2d 6631 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g𝑅)((𝐼1 ) · 𝑍)) = (𝑋(+g𝑅)(𝐼𝑍)))
10 eqid 2621 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 m2detleiblem1.m . . . 4 = (-g𝑅)
121, 10, 4, 11grpsubval 17405 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 𝑍) = (𝑋(+g𝑅)(𝐼𝑍)))
13123adant1 1077 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 𝑍) = (𝑋(+g𝑅)(𝐼𝑍)))
149, 13eqtr4d 2658 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g𝑅)((𝐼1 ) · 𝑍)) = (𝑋 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cpr 4157  cfv 5857  (class class class)co 6615  1c1 9897  2c2 11030  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  SymGrpcsymg 17737  pmSgncpsgn 17849  1rcur 18441  Ringcrg 18487  ℤRHomczrh 19788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489
This theorem is referenced by:  m2detleib  20377
  Copyright terms: Public domain W3C validator