MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madetsumid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madetsumid 20034
Description: The identity summand in the Leibniz' formula of a determinant for a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madetsumid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madetsumid.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
madetsumid.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetsumid.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetsumid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
madetsumid ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝑀,𝑟   𝑁,𝑟   𝑅,𝑟   𝑃,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑆(𝑟)   · (𝑟)   𝑈(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem madetsumid
StepHypRef Expression
1 fveq2 6088 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑌𝑆)‘𝑃) = ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)))
2 fveq1 6087 . . . . . . 7 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑃𝑟) = (( I ↾ 𝑁)‘𝑟))
32oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → ((𝑃𝑟)𝑀𝑟) = ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))
43mpteq2dv 4667 . . . . 5 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))
54oveq2d 6543 . . . 4 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))))
61, 5oveq12d 6545 . . 3 (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
763ad2ant3 1076 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))))
8 madetsumid.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 madetsumid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
108, 9matrcl 19985 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1110simpld 473 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
12 madetsumid.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13 madetsumid.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1412, 13coeq12i 5195 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑌𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
16 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1716symgid 17593 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1817adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
1915, 18fveq12d 6094 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))))
20 crngring 18330 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21 zrhpsgnmhm 19697 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
22 madetsumid.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
2322oveq2i 6538 . . . . . . . . . 10 ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) = ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅))
2421, 23syl6eleqr 2698 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
2520, 24sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈))
26 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
27 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2822, 27ringidval 18275 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (0g𝑈)
2926, 28mhm0 17115 . . . . . . . 8 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom 𝑈) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘(0g‘(SymGrp‘𝑁))) = (1r𝑅))
3119, 30eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) = (1r𝑅))
32 fvresi 6322 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3332adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝑟) = 𝑟)
3433oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑟𝑁) → ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟) = (𝑟𝑀𝑟))
3534mpteq2dva 4666 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)) = (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))
3635oveq2d 6543 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
3731, 36oveq12d 6545 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
3811, 37sylan2 489 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))))
3920adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
408, 9, 22matgsumcl 20033 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅))
41 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
42 madetsumid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
4341, 42, 27ringlidm 18343 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4439, 40, 43syl2anc 690 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
4538, 44eqtrd 2643 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
46453adant3 1073 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘( I ↾ 𝑁)) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((( I ↾ 𝑁)‘𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
477, 46eqtrd 2643 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑃 = ( I ↾ 𝑁)) → (((𝑌𝑆)‘𝑃) · (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ ((𝑃𝑟)𝑀𝑟)))) = (𝑈 Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑀𝑟))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cmpt 4637   I cid 4938  cres 5030  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  Basecbs 15644  .rcmulr 15718  0gc0g 15872   Σg cgsu 15873   MndHom cmhm 17105  SymGrpcsymg 17569  pmSgncpsgn 17681  mulGrpcmgp 18261  1rcur 18273  Ringcrg 18319  CRingccrg 18320  ℤRHomczrh 19615   Mat cmat 19980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-xor 1456  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-word 13103  df-lsw 13104  df-concat 13105  df-s1 13106  df-substr 13107  df-splice 13108  df-reverse 13109  df-s2 13393  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-prds 15880  df-pws 15882  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-symg 17570  df-pmtr 17634  df-psgn 17683  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-rnghom 18487  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-dsmm 19843  df-frlm 19858  df-mat 19981
This theorem is referenced by:  mdetdiag  20172
  Copyright terms: Public domain W3C validator