MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madutpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madutpos 20380
Description: The adjuct of a transposed matrix is the transposition of the adjunct of the matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
madutpos ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))

Proof of Theorem madutpos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
21tposmpt2 7341 . . . . . . . 8 tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
3 orcom 402 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎)))
5 ancom 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏))
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏)))
76ifbid 4085 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)))
8 ovtpos 7319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐tpos 𝑀𝑑) = (𝑑𝑀𝑐)
98eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑))
114, 7, 10ifbieq12d 4090 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) = if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))
1211mpt2eq3dv 6681 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
132, 12syl5eq 2667 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
1413fveq2d 6157 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
15 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16 maduf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 maduf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
1916, 18matrcl 20150 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2019simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
2120ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
22 simp1ll 1122 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
23 crngring 18490 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2517, 24ringidcl 18500 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2717, 26ring0cl 18501 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2825, 27ifcld 4108 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2922, 23, 283syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3016, 17, 18matbas2i 20160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 7831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝐵𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3332ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3433fovrnda 6765 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ (𝑑𝑁𝑐𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35343impb 1257 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
3629, 35ifcld 4108 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) ∈ (Base‘𝑅))
3716, 17, 18, 21, 15, 36matbas2d 20161 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵)
38 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
3938, 16, 18mdettpos 20349 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4015, 37, 39syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4114, 40eqtr3d 2657 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4216, 18mattposcl 20191 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos 𝑀𝐵)
4443adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos 𝑀𝐵)
45 simprl 793 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
46 simprr 795 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
47 maduf.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4816, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 20378 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ tpos 𝑀𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
4915, 44, 45, 46, 48syl211anc 1329 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
50 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀𝐵)
5116, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 20378 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑏𝑁𝑎𝑁) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5215, 50, 46, 45, 51syl211anc 1329 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5341, 49, 523eqtr4d 2665 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎))
54 ovtpos 7319 . . . 4 (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎)
5553, 54syl6eqr 2673 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5655ralrimivva 2966 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5716, 47, 18maduf 20379 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐽:𝐵𝐵)
5958, 43ffvelrnd 6321 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵)
6016, 17, 18matbas2i 20160 . . . . 5 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
6159, 60syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
62 elmapi 7831 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
63 ffn 6007 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6461, 62, 633syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6557ffvelrnda 6320 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6616, 18mattposcl 20191 . . . . 5 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6716, 17, 18matbas2i 20160 . . . . 5 (tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
6865, 66, 673syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
69 elmapi 7831 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
70 ffn 6007 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
7168, 69, 703syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
72 eqfnov2 6727 . . 3 (((𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7364, 71, 72syl2anc 692 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7456, 73mpbird 247 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  ifcif 4063   × cxp 5077   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  tpos ctpos 7303  𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907  Basecbs 15792  0gc0g 16032  1rcur 18433  Ringcrg 18479  CRingccrg 18480   Mat cmat 20145   maDet cmdat 20322   maAdju cmadu 20370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-concat 13248  df-s1 13249  df-substr 13250  df-splice 13251  df-reverse 13252  df-s2 13538  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-cntz 17682  df-oppg 17708  df-symg 17730  df-pmtr 17794  df-psgn 17843  df-evpm 17844  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-rnghom 18647  df-drng 18681  df-subrg 18710  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-dsmm 20008  df-frlm 20023  df-mat 20146  df-mdet 20323  df-madu 20372
This theorem is referenced by:  madulid  20383
  Copyright terms: Public domain W3C validator