MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudi 19967
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamudi.p + = (+g𝑅)
mamudi.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamudi (𝜑 → ((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mamudi.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 mamucl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18347 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
93ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mamudi.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
11 elmapi 7739 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1312ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14 simplrl 795 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
15 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1613, 14, 15fovrnd 6678 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17 mamudi.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
18 elmapi 7739 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2019ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21 simplrr 796 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2220, 15, 21fovrnd 6678 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
23 eqid 2606 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 23ringcl 18327 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
259, 16, 22, 24syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
26 mamudi.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
27 elmapi 7739 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2928ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3029, 14, 15fovrnd 6678 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
311, 23ringcl 18327 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
329, 30, 22, 31syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
34 eqid 2606 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 18092 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘𝑓 + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
3610ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
37 ffn 5941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
3836, 11, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
3926ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
40 ffn 5941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4139, 27, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
43 xpfi 8090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
4442, 7, 43syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
4544ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
46 opelxpi 5059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
4746adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑀𝑘𝑂) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
4847adantll 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
49 fnfvof 6783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁)) ∧ ((𝑀 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))) → ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
5038, 41, 45, 48, 49syl22anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
51 df-ov 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗) = ((𝑋𝑓 + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
52 df-ov 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
53 df-ov 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
5452, 53oveq12i 6536 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
5550, 51, 543eqtr4g 2665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)))
5655oveq1d 6539 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
571, 2, 23ringdir 18333 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
589, 16, 30, 22, 57syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5956, 58eqtrd 2640 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
6059mpteq2dva 4663 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
61 eqidd 2607 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
62 eqidd 2607 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
638, 25, 32, 61, 62offval2 6786 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘𝑓 + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6460, 63eqtr4d 2643 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘𝑓 + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6564oveq2d 6540 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘𝑓 + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
66 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
673adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6842adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
69 mamudi.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
7069adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
7110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
7217adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑂)))
73 simprl 789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
74 simprr 791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
7566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74mamufv 19951 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7626adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
7766, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74mamufv 19951 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7875, 77oveq12d 6542 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
7935, 65, 783eqtr4d 2650 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
80 ringmnd 18322 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
813, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
821, 2mndvcl 19955 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁))) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
8381, 10, 26, 82syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
8483adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
8566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74mamufv 19951 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋𝑓 + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
861, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17mamucl 19965 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
87 elmapi 7739 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88 ffn 5941 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9089adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
911, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17mamucl 19965 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
92 elmapi 7739 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
93 ffn 5941 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9594adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96 xpfi 8090 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9742, 69, 96syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9897adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
99 opelxpi 5059 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
10099adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
101 fnfvof 6783 . . . . . 6 ((((𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
10290, 95, 98, 100, 101syl22anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
103 df-ov 6527 . . . . 5 (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
104 df-ov 6527 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
105 df-ov 6527 . . . . . 6 (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
106104, 105oveq12i 6536 . . . . 5 ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
107102, 103, 1063eqtr4g 2665 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
10879, 85, 1073eqtr4d 2650 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
109108ralrimivva 2950 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
1101, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17mamucl 19965 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
111 elmapi 7739 . . . 4 (((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
112 ffn 5941 . . . 4 (((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
113110, 111, 1123syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
1141, 2mndvcl 19955 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
11581, 86, 91, 114syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)))
116 elmapi 7739 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
117 ffn 5941 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
118115, 116, 1173syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
119 eqfnov2 6640 . . 3 ((((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
120113, 118, 119syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
121109, 120mpbird 245 1 (𝜑 → ((𝑋𝑓 + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘𝑓 + (𝑌𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  cop 4127  cotp 4129  cmpt 4634   × cxp 5023   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  𝑚 cmap 7718  Fincfn 7815  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712   Σg cgsu 15867  Mndcmnd 17060  CMndccmn 17959  Ringcrg 18313   maMul cmmul 19947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-ot 4130  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-hash 12932  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-mamu 19948
This theorem is referenced by:  matring  20007  mdetmul  20187
  Copyright terms: Public domain W3C validator