Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufacex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufacex 20243
 Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝐵 for matrices 𝐴 and 𝐵 is a matrix. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufacex.g 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
mamufacex.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
mamufacex (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶))

Proof of Theorem mamufacex
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (𝑍𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶)))
2 mamudm.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
3 mamudm.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐸)
4 mamudm.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
5 mamudm.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (Base‘𝐹)
6 mamudm.m . . . . . . . . 9 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
72, 3, 4, 5, 6mamudm 20242 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
87adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
983adant1 1099 . . . . . 6 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
109adantl 481 . . . . 5 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
11 simpl 472 . . . . . 6 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ 𝑍𝐶)
1211intnand 982 . . . . 5 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ (𝑋𝐵𝑍𝐶))
13 ndmovg 6859 . . . . 5 ((dom × = (𝐵 × 𝐶) ∧ ¬ (𝑋𝐵𝑍𝐶)) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
1410, 12, 13syl2anc 694 . . . 4 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
15 eqeq1 2655 . . . . . 6 ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
16 xpfi 8272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
17163adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
18 xpnz 5588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ↔ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
1918biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
20 mamufacex.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
21 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 mamufacex.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (Base‘𝐺)
2320, 21, 22elfrlmbasn0 20154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 × 𝑃) ∈ Fin ∧ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅) → (𝑌𝐷𝑌 ≠ ∅))
2417, 19, 23syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (𝑌𝐷𝑌 ≠ ∅))
2524ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑌𝐷𝑌 ≠ ∅)))
2625com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐷 → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑌𝐷) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
2827com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑅𝑉𝑌𝐷) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
29283imp 1275 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑌 ≠ ∅)
30 eqneqall 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑍𝐶))
3129, 30syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑌 = ∅ → 𝑍𝐶))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑌 = ∅ → 𝑍𝐶))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍𝐶))
3433eqcoms 2659 . . . . . 6 (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍𝐶))
3515, 34syl6bi 243 . . . . 5 ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍𝐶)))
3635com23 86 . . . 4 ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶)))
3714, 36mpcom 38 . . 3 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶))
3837ex 449 . 2 𝑍𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶)))
391, 38pm2.61i 176 1 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948  ⟨cotp 4218   × cxp 5141  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904   freeLMod cfrlm 20138   maMul cmmul 20237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator