MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufv 19959
Description: A cell in the multiplication of two matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamufval.t · = (.r𝑅)
mamufval.r (𝜑𝑅𝑉)
mamufval.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamufval.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamufval.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamuval.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamuval.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
mamufv.i (𝜑𝐼𝑀)
mamufv.k (𝜑𝐾𝑃)
Assertion
Ref Expression
mamufv (𝜑 → (𝐼(𝑋𝐹𝑌)𝐾) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑗,𝑋   𝑗,𝑌   𝜑,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   · (𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem mamufv
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . . 3 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
2 mamufval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 mamufval.t . . 3 · = (.r𝑅)
4 mamufval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 mamufval.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
6 mamufval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mamufval.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
8 mamuval.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
9 mamuval.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 19958 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑘𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘))))))
11 oveq1 6533 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑋𝑗) = (𝐼𝑋𝑗))
12 oveq2 6534 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (𝑗𝑌𝑘) = (𝑗𝑌𝐾))
1311, 12oveqan12d 6545 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))
1413adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)) = ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))
1514mpteq2dv 4667 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾))))
1615oveq2d 6542 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼𝑘 = 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
17 mamufv.i . 2 (𝜑𝐼𝑀)
18 mamufv.k . 2 (𝜑𝐾𝑃)
19 ovex 6554 . . 3 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))) ∈ V
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))) ∈ V)
2110, 16, 17, 18, 20ovmpt2d 6663 1 (𝜑 → (𝐼(𝑋𝐹𝑌)𝐾) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑗) · (𝑗𝑌𝐾)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cotp 4132  cmpt 4637   × cxp 5025  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  Basecbs 15643  .rcmulr 15717   Σg cgsu 15872   maMul cmmul 19955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-mamu 19956
This theorem is referenced by:  mamuass  19974  mamudi  19975  mamudir  19976  mamuvs1  19977  mamuvs2  19978  mamulid  20013  mamurid  20014  matmulcell  20017  mavmulass  20121  mvmumamul1  20126  mdetmul  20195  decpmatmullem  20342  matunitlindflem2  32359
  Copyright terms: Public domain W3C validator