MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamurid 20296
Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a right identity (for any matrix with the same number of columns). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamumat1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o 1 = (1r𝑅)
mamumat1cl.z 0 = (0g𝑅)
mamumat1cl.i 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamurid.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
mamurid.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
Assertion
Ref Expression
mamurid (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamurid
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamurid.f . . . . 5 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑀, 𝑀⟩)
2 mamumat1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2651 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mamumat1cl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mamulid.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 mamumat1cl.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ Fin)
10 mamurid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
12 mamumat1cl.o . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
13 mamumat1cl.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
14 mamumat1cl.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑖𝑀, 𝑗𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
152, 4, 12, 13, 14, 8mamumat1cl 20293 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)))
17 simprl 809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑙𝑁)
18 simprr 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑚𝑀)
191, 2, 3, 5, 7, 9, 9, 11, 16, 17, 18mamufv 20241 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))))
20 ringmnd 18602 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
215, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → 𝑅 ∈ Mnd)
224ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23 elmapi 7921 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
26 simplrl 817 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑙𝑁)
27 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑘𝑀)
2825, 26, 27fovrnd 6848 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
29 elmapi 7921 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (𝐵𝑚 (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
3130ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
32 simplrr 818 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → 𝑚𝑀)
3331, 27, 32fovrnd 6848 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
342, 3ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝐼𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
3522, 28, 33, 34syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) ∈ 𝐵)
36 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) = (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))
3735, 36fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))):𝑀𝐵)
38 simp2 1082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑘𝑀)
39323adant3 1101 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → 𝑚𝑀)
402, 4, 12, 13, 14, 8mat1comp 20294 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑀𝑚𝑀) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
4138, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ))
42 ifnefalse 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑚 → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
43423ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → if(𝑘 = 𝑚, 1 , 0 ) = 0 )
4441, 43eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → (𝑘𝐼𝑚) = 0 )
4544oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ))
462, 3, 13ringrz 18634 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4722, 28, 46syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
48473adant3 1101 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
4945, 48eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) ∧ 𝑘𝑀𝑘𝑚) → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = 0 )
5049, 9suppsssn 7375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚))) supp 0 ) ⊆ {𝑚})
512, 13, 21, 9, 18, 37, 50gsumpt 18407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))) = ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚))
52 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑙𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑚))
53 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐼𝑚) = (𝑚𝐼𝑚))
5452, 53oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
55 ovex 6718 . . . . . . 7 ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) ∈ V
5654, 36, 55fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
5756ad2antll 765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)))
58 equequ1 1998 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑚 → (𝑖 = 𝑗𝑚 = 𝑗))
5958ifbid 4141 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑚 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ))
60 equequ2 1999 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (𝑚 = 𝑗𝑚 = 𝑚))
6160ifbid 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ))
62 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 𝑚 = 𝑚
6362iftruei 4126 . . . . . . . . . 10 if(𝑚 = 𝑚, 1 , 0 ) = 1
6461, 63syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → if(𝑚 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
65 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) ∈ V
6612, 65eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
6759, 64, 14, 66ovmpt2 6838 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑀𝑚𝑀) → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6867anidms 678 . . . . . . 7 (𝑚𝑀 → (𝑚𝐼𝑚) = 1 )
6968oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑚𝑀 → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
7069ad2antll 765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝐼𝑚)) = ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ))
7124fovrnda 6847 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵)
722, 3, 12ringridm 18618 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑚) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
735, 71, 72syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑙𝑋𝑚)(.r𝑅) 1 ) = (𝑙𝑋𝑚))
7457, 70, 733eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → ((𝑘𝑀 ↦ ((𝑙𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝐼𝑚)))‘𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7519, 51, 743eqtrd 2689 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑁𝑚𝑀)) → (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
7675ralrimivva 3000 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚))
772, 4, 1, 6, 8, 8, 10, 15mamucl 20255 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
78 elmapi 7921 . . . . 5 ((𝑋𝐹𝐼) ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑀)) → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵)
80 ffn 6083 . . . 4 ((𝑋𝐹𝐼):(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
8179, 80syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀))
82 ffn 6083 . . . 4 (𝑋:(𝑁 × 𝑀)⟶𝐵𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
8324, 82syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀))
84 eqfnov2 6809 . . 3 (((𝑋𝐹𝐼) Fn (𝑁 × 𝑀) ∧ 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑀)) → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8581, 83, 84syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐼) = 𝑋 ↔ ∀𝑙𝑁𝑚𝑀 (𝑙(𝑋𝐹𝐼)𝑚) = (𝑙𝑋𝑚)))
8676, 85mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑋𝐹𝐼) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  ifcif 4119  cotp 4218  cmpt 4762   × cxp 5141   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  1rcur 18547  Ringcrg 18593   maMul cmmul 20237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-mamu 20238
This theorem is referenced by:  matring  20297  mat1  20301
  Copyright terms: Public domain W3C validator