Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapd1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapd1o 36403
Description: The map defined by df-mapd 36380 is one-to-one and onto the set of dual subspaces of functionals with closed kernels. This shows 𝑀 satisfies part of the definition of projectivity of [Baer] p. 40. TODO: change theorems leading to this (lcfr 36340, mapdrval 36402, lclkrs 36294, lclkr 36288,...) to use 𝑇 ∩ 𝒫 𝐶? TODO: maybe get rid of $d's for 𝑔 vs. 𝐾𝑈𝑊,. propagate to mapdrn 36404 and any others. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapd1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapd1o.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapd1o.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapd1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapd1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapd1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapd1o.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapd1o.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapd1o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapd1o (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐾   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑈,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝑀(𝑔)

Proof of Theorem mapd1o
Dummy variables 𝑓 𝑐 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapd1o.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
2 fvex 6160 . . . . . 6 (LFnl‘𝑈) ∈ V
31, 2eqeltri 2700 . . . . 5 𝐹 ∈ V
43rabex 4778 . . . 4 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
5 eqid 2626 . . . 4 (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)})
64, 5fnmpti 5981 . . 3 (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
7 mapd1o.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 mapd1o.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 mapd1o.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 mapd1o.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
11 mapd1o.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 mapd1o.o . . . . . 6 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13 mapd1o.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
148, 9, 10, 1, 11, 12, 13mapdfval 36382 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
157, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}))
1615fneq1d 5941 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡𝑆 ↦ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
176, 16mpbiri 248 . 2 (𝜑𝑀 Fn 𝑆)
183rabex 4778 . . . . . . 7 {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)} ∈ V
19 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)})
2018, 19fnmpti 5981 . . . . . 6 (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆
218, 9, 10, 1, 11, 12, 13mapdfval 36382 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
227, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}))
2322fneq1d 5941 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Fn 𝑆 ↔ (𝑡𝑆 ↦ {𝑔𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑡)}) Fn 𝑆))
2420, 23mpbiri 248 . . . . 5 (𝜑𝑀 Fn 𝑆)
25 fvelrnb 6201 . . . . 5 (𝑀 Fn 𝑆 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀 ↔ ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
277adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → 𝑐𝑆)
298, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 27, 28mapdval 36383 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝑀𝑐) = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)})
30 mapd1o.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (LDual‘𝑈)
31 mapd1o.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
32 mapd1o.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
33 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)}
348, 12, 9, 10, 1, 11, 30, 31, 32, 33, 27, 28lclkrs2 36295 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑆) → ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
35 elin 3779 . . . . . . . . . 10 ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶))
363rabex 4778 . . . . . . . . . . . 12 {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ V
3736elpw 4141 . . . . . . . . . . 11 ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶 ↔ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶)
3837anbi2i 729 . . . . . . . . . 10 (({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝒫 𝐶) ↔ ({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶))
3935, 38bitr2i 265 . . . . . . . . 9 (({𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ 𝑇 ∧ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ⊆ 𝐶) ↔ {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
4034, 39sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑆) → {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑐)} ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
4129, 40eqeltrd 2704 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑆) → (𝑀𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
42 eleq1 2692 . . . . . . 7 ((𝑀𝑐) = 𝑡 → ((𝑀𝑐) ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ 𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
4341, 42syl5ibcom 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑆) → ((𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
4443rexlimdva 3029 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
45 eqid 2626 . . . . . . . 8 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))
467adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
47 inss1 3816 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝑇
4847sseli 3584 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡𝑇)
4948adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡𝑇)
50 inss2 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐶
5150sseli 3584 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐶)
5251elpwid 4146 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → 𝑡𝐶)
5352adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑡𝐶)
548, 12, 9, 10, 1, 11, 30, 31, 32, 45, 46, 49, 53lcfr 36340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
558, 12, 13, 9, 10, 1, 11, 30, 31, 32, 46, 49, 53, 45mapdrval 36402 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡)
56 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) → (𝑀𝑐) = (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))))
5756eqeq1d 2628 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) → ((𝑀𝑐) = 𝑡 ↔ (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡))
5857rspcev 3300 . . . . . . 7 (( 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑀 𝑓𝑡 (𝑂‘(𝐿𝑓))) = 𝑡) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡)
5954, 55, 58syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡)
6059ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) → ∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡))
6144, 60impbid 202 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑐𝑆 (𝑀𝑐) = 𝑡𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
6226, 61bitrd 268 . . 3 (𝜑 → (𝑡 ∈ ran 𝑀𝑡 ∈ (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶)))
6362eqrdv 2624 . 2 (𝜑 → ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
647adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
65 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → 𝑡𝑆)
66 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → 𝑢𝑆)
678, 9, 10, 13, 64, 65, 66mapd11 36394 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) ↔ 𝑡 = 𝑢))
6867biimpd 219 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
6968ralrimivva 2970 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑆𝑢𝑆 ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢))
70 dff1o6 6486 . 2 (𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ↔ (𝑀 Fn 𝑆 ∧ ran 𝑀 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝐶) ∧ ∀𝑡𝑆𝑢𝑆 ((𝑀𝑡) = (𝑀𝑢) → 𝑡 = 𝑢)))
7117, 63, 69, 70syl3anbrc 1244 1 (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→(𝑇 ∩ 𝒫 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4135   ciun 4490  cmpt 4678  ran crn 5080   Fn wfn 5845  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  LSubSpclss 18846  LFnlclfn 33810  LKerclk 33838  LDualcld 33876  HLchlt 34103  LHypclh 34736  DVecHcdvh 35833  ocHcoch 36102  mapdcmpd 36379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-riotaBAD 33705
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-undef 7345  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-0g 16018  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-p0 16955  df-p1 16956  df-lat 16962  df-clat 17024  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-subg 17507  df-cntz 17666  df-oppg 17692  df-lsm 17967  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-drng 18665  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-lsp 18886  df-lvec 19017  df-lsatoms 33729  df-lshyp 33730  df-lcv 33772  df-lfl 33811  df-lkr 33839  df-ldual 33877  df-oposet 33929  df-ol 33931  df-oml 33932  df-covers 34019  df-ats 34020  df-atl 34051  df-cvlat 34075  df-hlat 34104  df-llines 34250  df-lplanes 34251  df-lvols 34252  df-lines 34253  df-psubsp 34255  df-pmap 34256  df-padd 34548  df-lhyp 34740  df-laut 34741  df-ldil 34856  df-ltrn 34857  df-trl 34912  df-tgrp 35497  df-tendo 35509  df-edring 35511  df-dveca 35757  df-disoa 35784  df-dvech 35834  df-dib 35894  df-dic 35928  df-dih 35984  df-doch 36103  df-djh 36150  df-mapd 36380
This theorem is referenced by:  mapdrn  36404  mapdcnvcl  36407  mapdcl  36408  mapdcnvid1N  36409  mapdcnvid2  36412
  Copyright terms: Public domain W3C validator