Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvatN 36435
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 36394. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvat.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvatN (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdat.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2621 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdat.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 35879 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
87, 4lsssn0 18867 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
101, 2, 3, 4, 5, 9mapdcnvid1N 36423 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
11 mapdat.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
131, 2, 3, 7, 11, 12, 5mapd0 36434 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
1413fveq2d 6152 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
1510, 14eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → {(0g𝑈)} = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
16 mapdat.b . . . . . 6 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17 eqid 2621 . . . . . 6 ( ⋖L𝐶) = ( ⋖L𝐶)
181, 11, 5lcdlvec 36360 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
19 mapdcnvat.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
2012, 16, 17, 18, 19lsatcv0 33798 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝐶)} ( ⋖L𝐶)𝑄)
211, 11, 5lcdlmod 36361 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
22 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
2312, 22lsssn0 18867 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
251, 2, 11, 22, 5mapdrn2 36420 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
2624, 25eleqtrrd 2701 . . . . . 6 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ ran 𝑀)
271, 2, 5, 26mapdcnvid2 36426 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)})) = {(0g𝐶)})
2822, 16, 21, 19lsatlssel 33764 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
2928, 25eleqtrrd 2701 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ran 𝑀)
301, 2, 5, 29mapdcnvid2 36426 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑄)) = 𝑄)
3120, 27, 303brtr4d 4645 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄)))
32 eqid 2621 . . . . 5 ( ⋖L𝑈) = ( ⋖L𝑈)
331, 2, 3, 4, 5, 26mapdcnvcl 36421 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 29mapdcnvcl 36421 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
351, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34mapdcv 36429 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄) ↔ (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄))))
3631, 35mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
3715, 36eqbrtrd 4635 . 2 (𝜑 → {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
38 mapdat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
391, 3, 5dvhlvec 35878 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
407, 4, 38, 32, 39, 34lsat0cv 33800 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄)))
4137, 40mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148   class class class wbr 4613  ccnv 5073  ran crn 5075  cfv 5847  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSAtomsclsa 33741  L clcv 33785  HLchlt 34117  LHypclh 34750  DVecHcdvh 35847  LCDualclcd 36355  mapdcmpd 36393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lshyp 33744  df-lcv 33786  df-lfl 33825  df-lkr 33853  df-ldual 33891  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tgrp 35511  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-dveca 35771  df-disoa 35798  df-dvech 35848  df-dib 35908  df-dic 35942  df-dih 35998  df-doch 36117  df-djh 36164  df-lcdual 36356  df-mapd 36394
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  36630  hdmaprnlem16N  36634
  Copyright terms: Public domain W3C validator