Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvid2 36765
Description: Value of the converse of the map defined by df-mapd 36733. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcnvid2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcnvid2.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvid2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvid2.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvid2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem mapdcnvid2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcnvid2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2620 . . . 4 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcnvid2.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2620 . . . 4 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2620 . . . 4 (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2620 . . . 4 (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7 eqid 2620 . . . 4 (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2620 . . . 4 (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
9 eqid 2620 . . . 4 (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10 eqid 2620 . . . 4 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)} = {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}
11 mapdcnvid2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapd1o 36756 . . 3 (𝜑𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}))
13 f1of1 6123 . . 3 (𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}) → 𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}))
14 f1f1orn 6135 . . 3 (𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1→((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑔)}) → 𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→ran 𝑀)
1512, 13, 143syl 18 . 2 (𝜑𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→ran 𝑀)
16 mapdcnvid2.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑀)
17 f1ocnvfv2 6518 . 2 ((𝑀:(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))–1-1-onto→ran 𝑀𝑋 ∈ ran 𝑀) → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)
1815, 16, 17syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {crab 2913  cin 3566  𝒫 cpw 4149  ccnv 5103  ran crn 5105  1-1wf1 5873  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  LSubSpclss 18913  LFnlclfn 34163  LKerclk 34191  LDualcld 34229  HLchlt 34456  LHypclh 35089  DVecHcdvh 36186  ocHcoch 36455  mapdcmpd 36732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-riotaBAD 34058
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-undef 7384  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-0g 16083  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-oppg 17757  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084  df-lsatoms 34082  df-lshyp 34083  df-lcv 34125  df-lfl 34164  df-lkr 34192  df-ldual 34230  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-tgrp 35850  df-tendo 35862  df-edring 35864  df-dveca 36110  df-disoa 36137  df-dvech 36187  df-dib 36247  df-dic 36281  df-dih 36337  df-doch 36456  df-djh 36503  df-mapd 36733
This theorem is referenced by:  mapdcnvordN  36766  mapdcv  36768  mapdin  36770  mapdlsm  36772  mapdcnvatN  36774  hdmaprnlem3N  36961  hdmaprnlem9N  36968  hdmaprnlem16N  36973
  Copyright terms: Public domain W3C validator