Theorem mapddlssN 38775

Description: The mapping of a subspace of vector space H to the dual space is a subspace of the dual space. TODO: Make this obsolete, use mapdcl2 38791 instead. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapddlss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapddlss.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapddlss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapddlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapddlss.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapddlss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapddlss.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapddlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapddlssN	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem mapddlssN

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapddlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapddlss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapddlss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		eqid 2821	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
6		eqid 2821	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapddlss.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapddlss.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapddlss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mapdval 38763	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)})
11		mapddlss.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
12		mapddlss.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
13		eqid 2821	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)}
14	1, 6, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 8, 9	lclkrs 38674	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ((((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓) ∧ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓)) ⊆ 𝑅)} ∈ 𝑇)
15	10, 14	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑅) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6354  LSubSpclss 19702  LFnlclfn 36192  LKerclk 36220  LDualcld 36258  HLchlt 36485  LHypclh 37119  DVecHcdvh 38213  ocHcoch 38482  mapdcmpd 38759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36088

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-undef 7938  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-lsm 18760  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lvec 19874  df-lsatoms 36111  df-lshyp 36112  df-lcv 36154  df-lfl 36193  df-lkr 36221  df-ldual 36259  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-llines 36633  df-lplanes 36634  df-lvols 36635  df-lines 36636  df-psubsp 36638  df-pmap 36639  df-padd 36931  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-tgrp 37878  df-tendo 37890  df-edring 37892  df-dveca 38138  df-disoa 38164  df-dvech 38214  df-dib 38274  df-dic 38308  df-dih 38364  df-doch 38483  df-djh 38530  df-mapd 38760

This theorem is referenced by: (None)