Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh75e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh75e 36542
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (5 of 6 cases). 𝑋, 𝑌, 𝑍 are Baer's u, v, w. (Note: Cases 1 of 6 and 2 of 6 are hypotheses mapdh75b here and mapdh75a in mapdh75cN 36543.) (Contributed by NM, 2-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh75.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh75.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh75.s = (-g𝑈)
mapdh75.o 0 = (0g𝑈)
mapdh75.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh75.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh75.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh75.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh75.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh75.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh75.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh75.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh75.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh75b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh75e.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh75e.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
mapdh75e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑋⟩) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑅,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh75e
StepHypRef Expression
1 mapdh75b . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
2 mapdh75.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
3 mapdh75.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
4 mapdh75.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdh75.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh75.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdh75.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 mapdh75.s . . 3 = (-g𝑈)
9 mapdh75.o . . 3 0 = (0g𝑈)
10 mapdh75.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 mapdh75.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 mapdh75.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
13 mapdh75.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
14 mapdh75.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15 mapdh75.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 mapdh75.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
17 mapdh75.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18 mapdh75e.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh75e.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019eldifad 3568 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
21 mapdh75e.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
222, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21mapdhcl 36517 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
231, 22eqeltrrd 2699 . . 3 (𝜑𝐸𝐷)
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 21mapdheq2 36519 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑋⟩) = 𝐹))
251, 24mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑋⟩) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cdif 3553  ifcif 4060  {csn 4150  cotp 4158  cmpt 4675  cfv 5849  crio 6567  (class class class)co 6607  1st c1st 7114  2nd c2nd 7115  Basecbs 15784  0gc0g 16024  -gcsg 17348  LSpanclspn 18893  HLchlt 34138  LHypclh 34771  DVecHcdvh 35868  LCDualclcd 36376  mapdcmpd 36414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-riotaBAD 33740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-ot 4159  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-undef 7347  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-0g 16026  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-preset 16852  df-poset 16870  df-plt 16882  df-lub 16898  df-glb 16899  df-join 16900  df-meet 16901  df-p0 16963  df-p1 16964  df-lat 16970  df-clat 17032  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-oppg 17700  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-dvr 18607  df-drng 18673  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lvec 19025  df-lsatoms 33764  df-lshyp 33765  df-lcv 33807  df-lfl 33846  df-lkr 33874  df-ldual 33912  df-oposet 33964  df-ol 33966  df-oml 33967  df-covers 34054  df-ats 34055  df-atl 34086  df-cvlat 34110  df-hlat 34139  df-llines 34285  df-lplanes 34286  df-lvols 34287  df-lines 34288  df-psubsp 34290  df-pmap 34291  df-padd 34583  df-lhyp 34775  df-laut 34776  df-ldil 34891  df-ltrn 34892  df-trl 34947  df-tgrp 35532  df-tendo 35544  df-edring 35546  df-dveca 35792  df-disoa 35819  df-dvech 35869  df-dib 35929  df-dic 35963  df-dih 36019  df-doch 36138  df-djh 36185  df-lcdual 36377  df-mapd 36415
This theorem is referenced by:  mapdh75cN  36543  mapdh75fN  36545  hdmap1eq2  36596
  Copyright terms: Public domain W3C validator