Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh7dN 37510
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s = (-g𝑈)
mapdh7.o 0 = (0g𝑈)
mapdh7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh7.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh7.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh7.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh7.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh7dN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐺,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑢,,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,,𝑥   𝑈,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7dN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh7.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh7.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh7.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh7.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh7.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh7.s . 2 = (-g𝑈)
8 mapdh7.o . 2 0 = (0g𝑈)
9 mapdh7.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh7.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh7.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh7.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh7.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh7.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh7.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh7.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh7.x . 2 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh7.y . 2 (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh7.z . 2 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
203, 5, 14dvhlvec 36869 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2118eldifad 3715 . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
2219eldifad 3715 . . . . 5 (𝜑𝑤𝑉)
23 mapdh7.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
24 mapdh7.wn . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
256, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24lspindp1 19306 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}) ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣})))
2625simprd 482 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
27 prcom 4399 . . . . 5 {𝑣, 𝑤} = {𝑤, 𝑣}
2827fveq2i 6343 . . . 4 (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑣})
2928eleq2i 2819 . . 3 (𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) ↔ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
3026, 29sylnibr 318 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}))
3117eldifad 3715 . . . . 5 (𝜑𝑢𝑉)
326, 9, 20, 22, 31, 21, 24lspindpi 19305 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
3332simprd 482 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
3433necomd 2975 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
35 mapdh7a . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
36 mapdh7.b . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36mapdheq4 37492 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  Vcvv 3328  cdif 3700  ifcif 4218  {csn 4309  {cpr 4311  cotp 4317  cmpt 4869  cfv 6037  crio 6761  (class class class)co 6801  1st c1st 7319  2nd c2nd 7320  Basecbs 16030  0gc0g 16273  -gcsg 17596  LSpanclspn 19144  HLchlt 35109  LHypclh 35742  DVecHcdvh 36838  LCDualclcd 37346  mapdcmpd 37384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-riotaBAD 34711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-ot 4318  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-undef 7556  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-0g 16275  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-cntz 17921  df-oppg 17947  df-lsm 18222  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-drng 18922  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lvec 19276  df-lsatoms 34735  df-lshyp 34736  df-lcv 34778  df-lfl 34817  df-lkr 34845  df-ldual 34883  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-llines 35256  df-lplanes 35257  df-lvols 35258  df-lines 35259  df-psubsp 35261  df-pmap 35262  df-padd 35554  df-lhyp 35746  df-laut 35747  df-ldil 35862  df-ltrn 35863  df-trl 35918  df-tgrp 36502  df-tendo 36514  df-edring 36516  df-dveca 36762  df-disoa 36789  df-dvech 36839  df-dib 36899  df-dic 36933  df-dih 36989  df-doch 37108  df-djh 37155  df-lcdual 37347  df-mapd 37385
This theorem is referenced by:  mapdh7fN  37511
  Copyright terms: Public domain W3C validator