Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8 36555
Description: Part (8) in [Baer] p. 48. Given a reference vector 𝑋, the value of function 𝐼 at a vector 𝑇 is independent of the choice of auxiliary vectors 𝑌 and 𝑍. Unlike Baer's, our version does not require 𝑋, 𝑌, and 𝑍 to be independent, and also is defined for all 𝑌 and 𝑍 that are not colinear with 𝑋 or 𝑇. We do this to make the definition of Baer's sigma function more straightforward. (This part eliminates 𝑇0.) (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8h.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8h.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8i.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8i.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8i.xz (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8i.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8i.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝑍,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh8a.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh8a.o . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
4 mapdh8i.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ V)
71, 2, 3, 4, 6mapdhval0 36491 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
8 mapdh8i.z . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ V
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ V)
111, 2, 3, 8, 10mapdhval0 36491 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩) = 𝑄)
127, 11eqtr4d 2658 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
14 oteq3 4381 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩)
1514fveq2d 6152 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
1615adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 0 ⟩))
17 oteq3 4381 . . . . 5 (𝑇 = 0 → ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩)
1817fveq2d 6152 . . . 4 (𝑇 = 0 → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
1918adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 0 ⟩))
2013, 16, 193eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝑇 = 0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
21 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
22 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
24 mapdh8a.s . . 3 = (-g𝑈)
25 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
26 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
27 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
28 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
29 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
30 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
31 mapdh8a.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3231adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 mapdh8h.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
3433adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝐹𝐷)
35 mapdh8h.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3635adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
37 mapdh8i.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3837adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
394adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
408adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41 mapdh8i.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
4241adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
43 mapdh8i.xz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4443adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
45 mapdh8i.yt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4645adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
47 mapdh8i.zt . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4847adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
49 mapdh8.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
5049anim1i 591 . . . 4 ((𝜑𝑇0 ) → (𝑇𝑉𝑇0 ))
51 eldifsn 4287 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑇𝑉𝑇0 ))
5250, 51sylibr 224 . . 3 ((𝜑𝑇0 ) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5321, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 30, 2, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 52mapdh8j 36554 . 2 ((𝜑𝑇0 ) → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
5420, 53pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cdif 3552  ifcif 4058  {csn 4148  cotp 4156  cmpt 4673  cfv 5847  crio 6564  (class class class)co 6604  1st c1st 7111  2nd c2nd 7112  Basecbs 15781  0gc0g 16021  -gcsg 17345  LSpanclspn 18890  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DVecHcdvh 35844  LCDualclcd 36352  mapdcmpd 36390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33740  df-lshyp 33741  df-lcv 33783  df-lfl 33822  df-lkr 33850  df-ldual 33888  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tgrp 35508  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-dveca 35768  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905  df-dic 35939  df-dih 35995  df-doch 36114  df-djh 36161  df-lcdual 36353  df-mapd 36391
This theorem is referenced by:  mapdh9a  36556  mapdh9aOLDN  36557
  Copyright terms: Public domain W3C validator