Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq2biN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdheq2biN 35840
Description: Lemmma for ~? mapdh . Part (2) in [Baer] p. 45. The bidirectional version of mapdheq2 35839 seems to require an additional hypothesis not mentioned in Baer. TODO fix ref. TODO: We probably don't need this; delete if never used. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe2.g (𝜑𝐺𝐷)
mapdh.ne3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh.my (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdheq2biN (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdheq2biN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh.s . . 3 = (-g𝑈)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0g𝑈)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdhe2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdhe2.g . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
20 mapdh.ne3 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mapdheq2 35839 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
22 mapdh.my . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
2320necomd 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 22, 18, 17, 15, 23mapdheq2 35839 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺))
2521, 24impbid 200 1 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑋⟩) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cdif 3536  ifcif 4035  {csn 4124  cotp 4132  cmpt 4637  cfv 5790  crio 6488  (class class class)co 6527  1st c1st 7034  2nd c2nd 7035  Basecbs 15641  0gc0g 15869  -gcsg 17193  LSpanclspn 18738  HLchlt 33458  LHypclh 34091  DVecHcdvh 35188  LCDualclcd 35696  mapdcmpd 35734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33060
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-0g 15871  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-oppg 17545  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lsatoms 33084  df-lshyp 33085  df-lcv 33127  df-lfl 33166  df-lkr 33194  df-ldual 33232  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-llines 33605  df-lplanes 33606  df-lvols 33607  df-lines 33608  df-psubsp 33610  df-pmap 33611  df-padd 33903  df-lhyp 34095  df-laut 34096  df-ldil 34211  df-ltrn 34212  df-trl 34267  df-tgrp 34852  df-tendo 34864  df-edring 34866  df-dveca 35112  df-disoa 35139  df-dvech 35189  df-dib 35249  df-dic 35283  df-dih 35339  df-doch 35458  df-djh 35505  df-lcdual 35697  df-mapd 35735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator