Theorem mapdheq4lem 38861

Description: Lemma for mapdheq4 38862. Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdheq4lem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdheq4lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 38240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		mapdhe4.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		mapdh.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11	9, 4, 10	lspsncl 19743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	6, 8, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		mapdhe.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	9, 4, 10	lspsncl 19743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 14, 15	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
18	4, 17	lsmcl 19849	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	6, 12, 16, 18	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20		mapdhcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		mapdh.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
23	9, 22	lmodvsubcl 19673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
24	6, 21, 8, 23	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
25	9, 4, 10	lspsncl 19743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26	6, 24, 25	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
27	9, 22	lmodvsubcl 19673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
28	6, 21, 14, 27	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
29	9, 4, 10	lspsncl 19743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	6, 28, 29	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	4, 17	lsmcl 19849	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	6, 26, 30, 31	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	1, 2, 3, 4, 5, 19, 32	mapdin 38792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))))
34		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
36	1, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 12, 16	mapdlsm 38794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
37		mapdh.eg	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
38		mapdh.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
39		mapdh.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
40		mapdhc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
41		mapdh.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
42		mapdh.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
43		mapdh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
44		mapdhc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
45		mapdh.mn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
46	1, 3, 5	dvhlvec 38239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
47		mapdh.yz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48		mapdh.xn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49	9, 40, 10, 46, 8, 13, 21, 47, 48	lspindp2 19901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
50	49	simpld 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
51	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 8, 50	mapdhcl 38857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
52	37, 51	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
53	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 7, 52, 50	mapdheq 38858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
54	37, 53	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
55	54	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
56		mapdh.ee	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
57	9, 40, 10, 46, 7, 14, 21, 47, 48	lspindp1 19899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
58	57	simpld 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
59	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 14, 58	mapdhcl 38857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
60	56, 59	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
61	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 13, 60, 58	mapdheq 38858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
62	56, 61	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
63	62	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
64	55, 63	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
65	36, 64	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
66	1, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 26, 30	mapdlsm 38794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
67	54	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
68	62	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
69	67, 68	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
70	66, 69	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
71	65, 70	ineq12d 4189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
72	33, 71	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
73	9, 22, 40, 17, 10, 46, 21, 48, 47, 7, 13	baerlem3 38843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
74	73	fveq2d 6668	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))))
75		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
76	1, 34, 5	lcdlvec 38721	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
77	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 44, 45, 21, 8, 52, 55, 14, 60, 63, 48	mapdindp 38801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
78	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 8, 14, 60, 63, 47	mapdncol 38800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
79	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 40, 75, 7	mapdn0 38799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
80	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 60, 63, 40, 75, 13	mapdn0 38799	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
81	41, 42, 75, 35, 43, 76, 44, 77, 78, 79, 80	baerlem3 38843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
82	72, 74, 81	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934  ifcif 4466  {csn 4560  {cpr 4562  ⟨cotp 4568   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  ℩crio 7107  (class class class)co 7150  1^st c1st 7681  2^nd c2nd 7682  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  -_gcsg 18099  LSSumclsm 18753  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  HLchlt 36480  LHypclh 37114  DVecHcdvh 38208  LCDualclcd 38716  mapdcmpd 38754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lsatoms 36106  df-lshyp 36107  df-lcv 36149  df-lfl 36188  df-lkr 36216  df-ldual 36254  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tgrp 37873  df-tendo 37885  df-edring 37887  df-dveca 38133  df-disoa 38159  df-dvech 38209  df-dib 38269  df-dic 38303  df-dih 38359  df-doch 38478  df-djh 38525  df-lcdual 38717  df-mapd 38755

This theorem is referenced by:  mapdheq4  38862