Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp1 36486
 Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp1
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2 eldifsni 4289 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
4 mapdindp1.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19025 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 mapdindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
8 mapdindp1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
97, 8lspsn0 18927 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1110eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
121eldifad 3567 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
1413, 7, 8lspsneq0 18931 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
156, 12, 14syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
1611, 15bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋 = 0 ))
1716necon3bid 2834 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }) ↔ 𝑋0 ))
183, 17mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{ 0 }))
20 sneq 4158 . . . . 5 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {(𝑌 + 𝑍)} = { 0 })
2120fveq2d 6152 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
2221adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{ 0 }))
2319, 22neeqtrrd 2864 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
24 mapdindp1.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2524adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
26 mapdindp1.p . . . 4 + = (+g𝑊)
274adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
281adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3231adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3433adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3635adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37 mapdindp1.f . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3837adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
4013, 26, 7, 8, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 25, 38, 39mapdindp0 36485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
4125, 40neeqtrrd 2864 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
4223, 41pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552  {csn 4148  {cpr 4150  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  LVecclvec 19021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022 This theorem is referenced by:  mapdh6dN  36505  mapdh6hN  36509  hdmap1l6d  36580  hdmap1l6h  36584
 Copyright terms: Public domain W3C validator