Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp4 36831
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 mapdindp1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 mapdindp1.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 mapdindp1.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lveclmod 19087 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3579 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
10 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3579 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
12 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
131, 12lmodvacl 18858 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
147, 9, 11, 13syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdindp1.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3579 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdindp1.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 19113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
2019simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2120necomd 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 19117 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
231, 12lmodcom 18890 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
247, 9, 11, 23syl3anc 1324 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
2524sneqd 4180 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑤 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑤)})
2625fveq2d 6182 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
2722, 26neeqtrrd 2865 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
2817, 27eqnetrrd 2859 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
29 mapdindp1.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 19114 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
3130simprd 479 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
32 eqid 2620 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
335eldifad 3579 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 19070 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
351, 12lmodcom 18890 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑤𝑉) → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
367, 11, 9, 35syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
3736preq2d 4266 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌, (𝑌 + 𝑤)} = {𝑌, (𝑤 + 𝑌)})
3837fveq2d 6182 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}))
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 19076 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 19070 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
4138, 39, 403eqtr3rd 2663 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4217oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
43 prcom 4258 . . . . . . . 8 {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
4443fveq2i 6181 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4641, 42, 453eqtr3d 2662 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4734, 46eqtrd 2654 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4831, 47neleqtrrd 2721 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 19114 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 479 1 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  cdif 3564  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  0gc0g 16081  LSSumclsm 18030  LModclmod 18844  LSpanclspn 18952  LVecclvec 19083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  36848  hdmap1l6e  36923
  Copyright terms: Public domain W3C validator