Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdm0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdm0 38857
Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
mapdm0 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4750 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 elmapg 7815 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
31, 2mpan2 706 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
43biimpa 501 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅)) → 𝑓:∅⟶𝐴)
5 f0bi 6045 . . . 4 (𝑓:∅⟶𝐴𝑓 = ∅)
64, 5sylib 208 . . 3 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅)) → 𝑓 = ∅)
76ralrimiva 2960 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅)𝑓 = ∅)
8 f0 6043 . . . . . 6 ∅:∅⟶𝐴
98a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ∅:∅⟶𝐴)
10 id 22 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
111a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ V)
12 elmapg 7815 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ∈ (𝐴𝑚 ∅) ↔ ∅:∅⟶𝐴))
1310, 11, 12syl2anc 692 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (∅ ∈ (𝐴𝑚 ∅) ↔ ∅:∅⟶𝐴))
149, 13mpbird 247 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ (𝐴𝑚 ∅))
15 ne0i 3897 . . . 4 (∅ ∈ (𝐴𝑚 ∅) → (𝐴𝑚 ∅) ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑚 ∅) ≠ ∅)
17 eqsn 4329 . . 3 ((𝐴𝑚 ∅) ≠ ∅ → ((𝐴𝑚 ∅) = {∅} ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅)𝑓 = ∅))
1816, 17syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝑚 ∅) = {∅} ↔ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝑚 ∅)𝑓 = ∅))
197, 18mpbird 247 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  c0 3891  {csn 4148  wf 5843  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804
This theorem is referenced by:  mpct  38867  rrxtopn0  39820  qndenserrnbl  39822  hoicvr  40069  ovn02  40089  ovnhoi  40124  ovnlecvr2  40131  hoiqssbl  40146  hoimbl  40152
  Copyright terms: Public domain W3C validator