MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom1 8070
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7906 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5124 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 7914 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 256 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 7932 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
98adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → 𝐶𝐶)
10 mapen 8069 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 495 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
12 ovex 6633 . . . . 5 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
132ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14 simprr 795 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
15 mapss 7845 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
1613, 14, 15syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
17 ssdomg 7946 . . . . 5 ((𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
19 endomtr 7959 . . . 4 (((𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶) ∧ (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2011, 18, 19syl2anc 692 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
216, 20exlimddv 1865 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
22 elmapex 7823 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2322simprd 479 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
2423con3i 150 . . . . 5 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2524eq0rdv 3956 . . . 4 𝐶 ∈ V → (𝐴𝑚 𝐶) = ∅)
2625adantl 482 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) = ∅)
27120dom 8035 . . 3 ∅ ≼ (𝐵𝑚 𝐶)
2826, 27syl6eqbr 4657 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2921, 28pm2.61dan 831 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  cen 7897  cdom 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902
This theorem is referenced by:  mappwen  8880  pwcfsdom  9350  cfpwsdom  9351  rpnnen  14876  rexpen  14877  hauspwdom  21209
  Copyright terms: Public domain W3C validator