MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom1 8290
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8127 . . . . . . 7 Rel ≼
21brrelex2i 5316 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 domeng 8135 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
54ibi 256 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
65adantr 472 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
7 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝑥)
8 enrefg 8153 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
98adantl 473 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → 𝐶𝐶)
10 mapen 8289 . . . . 5 ((𝐴𝑥𝐶𝐶) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
117, 9, 10syl2anr 496 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶))
12 ovex 6841 . . . . 5 (𝐵𝑚 𝐶) ∈ V
132ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14 simprr 813 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
15 mapss 8066 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
1613, 14, 15syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
17 ssdomg 8167 . . . . 5 ((𝐵𝑚 𝐶) ∈ V → ((𝑥𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
19 endomtr 8179 . . . 4 (((𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝑥𝑚 𝐶) ∧ (𝑥𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2011, 18, 19syl2anc 696 . . 3 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵)) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
216, 20exlimddv 2012 . 2 ((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
22 elmapex 8044 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2322simprd 482 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
2423con3i 150 . . . . 5 𝐶 ∈ V → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2524eq0rdv 4122 . . . 4 𝐶 ∈ V → (𝐴𝑚 𝐶) = ∅)
2625adantl 473 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) = ∅)
27120dom 8255 . . 3 ∅ ≼ (𝐵𝑚 𝐶)
2826, 27syl6eqbr 4843 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
2921, 28pm2.61dan 867 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ≼ (𝐵𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cen 8118  cdom 8119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123
This theorem is referenced by:  mappwen  9125  pwcfsdom  9597  cfpwsdom  9598  rpnnen  15155  rexpen  15156  hauspwdom  21506
  Copyright terms: Public domain W3C validator