MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdom2 8172
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))

Proof of Theorem mapdom2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
21oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) = (∅ ↑𝑚 𝐴))
3 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅))
4 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅))
54, 1jctird 566 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)))
63, 5mtod 189 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
76neqned 2830 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
8 map0b 7938 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)
102, 9eqtrd 2685 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) = ∅)
11 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝐶𝑚 𝐵) ∈ V
12110dom 8131 . . . . . 6 ∅ ≼ (𝐶𝑚 𝐵)
1310, 12syl6eqbr 4724 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 = ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
14 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
15 reldom 8003 . . . . . . . . . . 11 Rel ≼
1615brrelex2i 5193 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
1716ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
18 domeng 8011 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵)))
2014, 19mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵))
21 enrefg 8029 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ V → 𝐶𝐶)
2221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶𝐶)
23 simprrl 821 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐴𝑥)
24 mapen 8165 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐶𝐴𝑥) → (𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥))
2522, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥))
26 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ∈ V)
27 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ∈ V)
28 simprl 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ≠ ∅)
29 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
3016ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝐵 ∈ V)
31 difexg 4841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑥) ∈ V)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐵𝑥) ∈ V)
33 map0g 7939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) = ∅ ↔ (𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅)))
34 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = ∅ ∧ (𝐵𝑥) ≠ ∅) → 𝐶 = ∅)
3533, 34syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → ((𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) = ∅ → 𝐶 = ∅))
3635necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3729, 32, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶 ≠ ∅ → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅))
3828, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅)
39 xpdom3 8099 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑚 𝑥) ∈ V ∧ (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ∈ V ∧ (𝐶𝑚 (𝐵𝑥)) ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4026, 27, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
41 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥 ∈ V)
43 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅)
45 mapunen 8170 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ (𝐵𝑥) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝑥 ∩ (𝐵𝑥)) = ∅) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4642, 32, 29, 44, 45syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) ≈ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))))
4746ensymd 8048 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))))
48 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → 𝑥𝐵)
49 undif 4082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5048, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝑥 ∪ (𝐵𝑥)) = 𝐵)
5150oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 (𝑥 ∪ (𝐵𝑥))) = (𝐶𝑚 𝐵))
5247, 51breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 𝐵))
53 domentr 8056 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑚 𝑥) ≼ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ∧ ((𝐶𝑚 𝑥) × (𝐶𝑚 (𝐵𝑥))) ≈ (𝐶𝑚 𝐵)) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5440, 52, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
55 endomtr 8055 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑚 𝐴) ≈ (𝐶𝑚 𝑥) ∧ (𝐶𝑚 𝑥) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5625, 54, 55syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ (𝐶 ≠ ∅ ∧ (𝐴𝑥𝑥𝐵))) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
5756expr 642 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
5857exlimdv 1901 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (∃𝑥(𝐴𝑥𝑥𝐵) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
5920, 58mpd 15 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6059adantlr 751 . . . . 5 ((((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6113, 60pm2.61dane 2910 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐶 ∈ V) ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6261an32s 863 . . 3 (((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6362ex 449 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵)))
64 reldmmap 7908 . . . 4 Rel dom ↑𝑚
6564ovprc1 6724 . . 3 𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) = ∅)
6665, 12syl6eqbr 4724 . 2 𝐶 ∈ V → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
6763, 66pm2.61d1 171 1 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐶 = ∅)) → (𝐶𝑚 𝐴) ≼ (𝐶𝑚 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   × cxp 5141  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cen 7994  cdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  mapdom3  8173  cfpwsdom  9444  hauspwdom  21352
  Copyright terms: Public domain W3C validator