Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdordlem1a 36403
 Description: Lemma for mapdord 36407. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdordlem1a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdordlem1a.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdordlem1a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdordlem1a.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
mapdordlem1a.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdordlem1a.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdordlem1a.t 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
mapdordlem1a.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdordlem1a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
mapdordlem1a (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mapdordlem1a
StepHypRef Expression
1 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)
2 mapdordlem1a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdordlem1a.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdordlem1a.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdordlem1a.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdordlem1a.y . . . . . . 7 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7 mapdordlem1a.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 mapdordlem1a.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simprl 793 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → 𝐽𝐹)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10dochlkr 36154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌)))
121, 11mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐿𝐽) ∈ 𝑌))
1312simpld 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽))
1413ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
1514pm4.71rd 666 . 2 (𝜑 → ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))))
16 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐽 → (𝐿𝑔) = (𝐿𝐽))
1716fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝐿𝑔)) = (𝑂‘(𝐿𝐽)))
1817fveq2d 6152 . . . 4 (𝑔 = 𝐽 → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))))
1918eleq1d 2683 . . 3 (𝑔 = 𝐽 → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌 ↔ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
20 mapdordlem1a.t . . 3 𝑇 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) ∈ 𝑌}
2119, 20elrab2 3348 . 2 (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
22 mapdordlem1a.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
2322lcfl1lem 36260 . . . 4 (𝐽𝐶 ↔ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)))
2423anbi1i 730 . . 3 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌))
25 anass 680 . . 3 (((𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽)) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ (𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
26 an12 837 . . 3 ((𝐽𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2724, 25, 263bitri 286 . 2 ((𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) = (𝐿𝐽) ∧ (𝐽𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
2815, 21, 273bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐽𝑇 ↔ (𝐽𝐶 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝐽))) ∈ 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  LSHypclsh 33742  LFnlclfn 33824  LKerclk 33852  HLchlt 34117  LHypclh 34750  DVecHcdvh 35847  ocHcoch 36116 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lshyp 33744  df-lfl 33825  df-lkr 33853  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-disoa 35798  df-dvech 35848  df-dib 35908  df-dic 35942  df-dih 35998  df-doch 36117 This theorem is referenced by:  mapdordlem2  36406
 Copyright terms: Public domain W3C validator