Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpg 35811
Description: Part 1 of proof of the first fundamental theorem of projective geometry. Part (1) in [Baer] p. 44. Our notation corresponds to Baer's as follows: 𝑀 for *, 𝑁‘{} for F(), 𝐽‘{} for G(), 𝑋 for x, 𝐺 for x', 𝑌 for y, for y'. TODO: Rename variables per mapdhval 35829. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpg (𝜑 → ∃!𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})))
Distinct variable groups:   𝐶,   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   ,   𝑈,   ,𝑋   ,𝑌   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝐻()   𝐾()   𝑉()   𝑊()   0 ()

Proof of Theorem mapdpg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . 3 = (-g𝑈)
6 mapdpg.z . . 3 0 = (0g𝑈)
7 mapdpg.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
11 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 mapdpg.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14 mapdpg.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdpg.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
16 mapdpg.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 mapdpg.e . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem24 35809 . 2 (𝜑 → ∃𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem32 35810 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑖𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → = 𝑖)
20193exp 1255 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑖𝐹) → ((((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))) → = 𝑖)))
2120ralrimivv 2947 . 2 (𝜑 → ∀𝐹𝑖𝐹 ((((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))) → = 𝑖))
22 sneq 4129 . . . . . 6 ( = 𝑖 → {} = {𝑖})
2322fveq2d 6087 . . . . 5 ( = 𝑖 → (𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝑖}))
2423eqeq2d 2614 . . . 4 ( = 𝑖 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖})))
25 oveq2 6530 . . . . . . 7 ( = 𝑖 → (𝐺𝑅) = (𝐺𝑅𝑖))
2625sneqd 4131 . . . . . 6 ( = 𝑖 → {(𝐺𝑅)} = {(𝐺𝑅𝑖)})
2726fveq2d 6087 . . . . 5 ( = 𝑖 → (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))
2827eqeq2d 2614 . . . 4 ( = 𝑖 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2924, 28anbi12d 742 . . 3 ( = 𝑖 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
3029reu4 3361 . 2 (∃!𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ↔ (∃𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ∧ ∀𝐹𝑖𝐹 ((((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))) → = 𝑖)))
3118, 21, 30sylanbrc 694 1 (𝜑 → ∃!𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wral 2890  wrex 2891  ∃!wreu 2892  cdif 3531  {csn 4119  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  0gc0g 15864  -gcsg 17188  LSpanclspn 18733  HLchlt 33453  LHypclh 34086  DVecHcdvh 35183  LCDualclcd 35691  mapdcmpd 35729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-undef 7258  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-0g 15866  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-cntz 17514  df-oppg 17540  df-lsm 17815  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865  df-lsatoms 33079  df-lshyp 33080  df-lcv 33122  df-lfl 33161  df-lkr 33189  df-ldual 33227  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262  df-tgrp 34847  df-tendo 34859  df-edring 34861  df-dveca 35107  df-disoa 35134  df-dvech 35184  df-dib 35244  df-dic 35278  df-dih 35334  df-doch 35453  df-djh 35500  df-lcdual 35692  df-mapd 35730
This theorem is referenced by:  mapdhcl  35832  mapdheq  35833  hdmap1eq  35907
  Copyright terms: Public domain W3C validator